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Savoir & Culture

Cours et Devoirs

Sujet : Partiels
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Kwns
Niveau 10
19 octobre 2017 à 13:25:21

Salut. Mes partiels sont la semaine prochaine et j'aurai plusieurs questions probablement. Plutôt que polluer le forum avec dix milles questions je fais un petit topic.

Déjà, je pense que c'est vrai mais comment prouver que si on considère x et y deux points d'un espace métrique et f une fonction, alors si k est une constante :

d(k-f(x),k-f(y)) = d(f(x),f(y)) ?

Merci! :hap:

GourdonLeSaint
Niveau 8
19 octobre 2017 à 13:40:36

T'es en quel année? :hap:

Prauron
Niveau 11
19 octobre 2017 à 13:40:37

C'est quoi k - f(x) ? Y'a une somme sur ton espace métrique ? Si c'est un espace vectoriel normé ok, sinon...

Kwns
Niveau 10
19 octobre 2017 à 14:27:23

L3.
Ah oui j'suis un blaireau, ça répond à ma question du coup Prauron. Merci.

Kwns
Niveau 10
19 octobre 2017 à 21:36:12

Hey.
https://image.noelshack.com/fichiers/2017/42/4/1508441733-help.png
Ici, j'arrive pas à calculer p(r).
Je sais que c'est P(x² + y² = r) mais après... :hap:

Prauron
Niveau 11
19 octobre 2017 à 22:14:45

Cr c'est pas plutôt le disque que le cercle ? Sinon ça fait 0...

Kwns
Niveau 10
20 octobre 2017 à 16:57:14

C'est le sujet officiel. Mais sinon ça fait 0 parce que c'est un ensemble négligeable? Et si c'était pas le cercle mais le disque, est ce que ça paraît juste de vouloir calculer P(x^2 < r- y^2) en passant par la fonction de répartition liée à la première variable?

Et autre question, http://anne.vaugon.vwx.fr/ACTD5_cor.pdf ici pour l'exo 1 (c'est de l'analyse complexe), pourquoi le principe du module maximal permet de déduire que le sup est inférieur à 1/r?

Le principe dit que si f est analytique sur un domaine U et que f est non constante alors |f| n'admet pas de maximum local.

Merci beaucoup, encore.

skywear
Niveau 38
20 octobre 2017 à 17:07:32

Tu es où cette année kwns si c'est pas indiscret ?

Prauron
Niveau 11
20 octobre 2017 à 17:23:44

Oui c'est 0 parce que le cercle est négligeable pour la mesure de Lebesgue sur [-1,1]^2.
Et si c'est le disque, le plus simple c'est d'utiliser la définition de la loi uniforme, ce qui donne aire(disque)/aire(carré).

Le principe du maximum te dit que le maximum de |g| sur le disque fermé de rayon r est atteint sur sa frontière, donc sur l'ensemble des z de module r. Or si |z| = r, |g(z)| <= 1/r. Donc à l'intérieur du cercle c'est plus petit que sur le bord, donc plus petit que r.

Kwns
Niveau 10
21 octobre 2017 à 08:25:02

Merci pour les probas.
Donc en fait, le principe du module maximal dit que |g| n'a pas de maximum local i.e qu'il n'existe pas de boule autour d'un point z0 tq pour tout z de cette boule, |g(z)|<=|g(z0)|. Donc nécessairement le maximum est forcément sur la frontière car c'est les seuls points où on ne peu pas construire de boules?

Prauron
Niveau 11
21 octobre 2017 à 09:52:01

Oui c'est ça. Plus précisément, la fonction atteint son max sur la frontière, et si y'a un max à l'intérieur, c'est que la fonction est constante.

Kwns
Niveau 10
23 octobre 2017 à 15:53:18

(Merci [[sticker:p/1kki]])

J'ai une question en calcul diff. J'ai du mal à saisir les objets avec lesquels on travaille.
Par exemple on dit que f (de R^n dans R^p) est dérivable en x si f'(x) € L(R^n,R^p) telle qu'elle vérifie une certaine propriété.
(prenons le cas n = 2)
On a pour x, y € R:

https://image.noelshack.com/fichiers/2017/43/1/1508766685-cdiff.png

où la dérivée par rapport à y est f'(x,y).e2 (où e2 est le vecteur 2 de la base canonique).

or f'(x,y).e2 € R^p non ?
Pourquoi on dit que la dérivée partielle de f par rapport à y est une application linéaire ?

Merci. :hap:

Prauron
Niveau 11
23 octobre 2017 à 16:10:55

f'(x,y), qu'on peut aussi noter df_{(x,y)} est une application linéaire de R^n dans R^p, la différentielle de f au point (x,y). Comme c'est une application linéaire, elle est entièrement déterminée par son image sur une base. Si on prend la base canonique, f'(x,y) appliquée au vecteur e1 donne un vecteur de R^p, que tu notes f'(x,y).e1, qui est la dérivée partielle de f par rapport à la première variable, au point (x,y). Il se trouve que c'est le nombre qu'on obtient quand on dérive (usuellement) par rapport à x en laissant fixes les autres variables.
Donc oui la dérivée partielle est bien un vecteur de R^p, mais ça n'est pas une application linéaire. L'application linéaire c'est f'(x,y).

Kwns
Niveau 10
23 octobre 2017 à 16:34:10

Je comprends. Enfin, je comprends que pour x,y on a f'(x,y) qui est linéaire et donc f'(x,y).ei € R^p.

Mais dans ce cas là, pq on note : https://image.noelshack.com/fichiers/2017/43/1/1508769128-cdiff2.png ?
Genre dans le théorème (trouvé sur Wikipédia) des fonctions implicites, on a D2f(x0,y0) qui est inversible. Donc c'est une fonction mais de quelle variable ? Parce que par def, D2f(x0,y0) c'est pas f'(x0,y0).e2 ? :(

Prauron
Niveau 11
23 octobre 2017 à 16:50:19

Dans ce cas, D2f(x0,y0) désigne la différentielle partielle (et non la dérivée partielle), i.e. la différentielle de l'application y -> f(x0,y), évaluée en y0. Mais cette application partielle peut elle même être une fonction de plusieurs variables, puisque là x et y appartiennent à des espaces de Banach quelconques E et F. Donc D2f(x0,y0) est bien une application linéaire.
Dans le cas particulier où E x F est R x R, alors D2f(x0,y0) est l'application linéaire de R dans R qui à y associe df/dy(x0,y0)*y, et tu retombes sur la notion de dérivée partielle.
Le calcul diff c'est chiant parce que t'as 10000 notations différentes, pas toujours très explicites, parfois t'as une même notation qui peut désigner des choses différentes selon les auteurs... Il y a de quoi s'y perdre je trouve.

Kwns
Niveau 10
23 octobre 2017 à 17:07:01

Ah putain c'était qu'une question de notations?
Genre si je pose g : y -> f(x0,y) alors g'(y) € L(F,G) donc g'(y0) € L(F,G) or D2f(x0,y0) = g'(y0) donc linéaire.

Mais en même temps, D2f(x0,y0) = f'(x0,y0).e2 € G (j'ai compris que c'était pas le même objet mais c'était pour vérifier qu'on a bien une notation pour deux choses différentes?)

Ouais, j'te le fais pas dire. C'est pas inintéressant mais damned, que c'est lourd.

Prauron
Niveau 11
23 octobre 2017 à 17:57:07

Ouais voilà. Après moi j'aime pas la notation f'(x,y). Et pour le premier objet, la différentielle partielle, je l'aurais noté df/dy(x_0,y_0), comme une dérivée partielle, tout en gardant à l'esprit que c'est une application linéaire.
Pour la différentielle de f au point M, évaluée en h, je note df_M(h), ou df_M.h (parce qu'en fait pour une fonction à valeurs dans R c'est juste un produit scalaire avec le gradient). C'est vrai que c'est chiant quand les différents profs et les différents beaucoup ont chacun leurs propres habitudes.

W_Wenders
Niveau 10
24 octobre 2017 à 01:43:08

Au cas où ça t'intéresse un pote m'a conseillé le bouquin de calcul différentiel chez cassini, il est pas mal du tout car dans sa rédaction il évite les notations chiantes liées à la technicité des preuves en hypothèse minimale par ex, fait des beaux dessins, a des notations claires etc...

Et les nombreux exos ont l'air cool.

Ça complète bien un cours plus aride je pense.

spf1
Niveau 10
25 octobre 2017 à 17:48:58

Le 24 octobre 2017 à 01:43:08 W_Wenders a écrit :
Au cas où ça t'intéresse un pote m'a conseillé le bouquin de calcul différentiel chez cassini, il est pas mal du tout car dans sa rédaction il évite les notations chiantes liées à la technicité des preuves en hypothèse minimale par ex, fait des beaux dessins, a des notations claires etc...

Et les nombreux exos ont l'air cool.

Ça complète bien un cours plus aride je pense.

Je conseille le bouquin de Cartan perso :)

Kwns
Niveau 10
25 octobre 2017 à 19:13:53

J'ai une question.
L'inégalité des accroissements finis dit :

norme de (f(y)-f(x)) <= norme de (y-x) * max (de norme de f')

Mon charge de TD a dit que norme de (f(y)-f(x))= norme de (y-x) * f'(z) avec z entre x et y

Mais est ce vrai ? Merci. :hap:

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Sujet : Partiels
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