Savoir & Culture

J'ai un exercice que notre prof nous a donné et qui est absolument pas en rapport avec le cours actuel du coup je vois pas trop ce qui est attendu ?

"Soit φ une fonction de R dans R bornée, continue en 0. On considère (Un) définiée par U0€R et Un+1=φ(Un)/(n+1)"

Montrer que (Un) converge et déterminer b0 tel que Un = b0/n + o(1/n)(n-> +inf) "

J'ai dit que 1/(n+1) --> 0 en +inf et φ est bornée donc φ(Un)/(n+1) -->0 en +inf d'ou la convergence.
Par contre je vois pas trop la méthode pour trouver b0 ? Il ne faut pas utiliser de DL vu que c'est ce qui est demandé dans les questions suivantes pour trouver d'autres valeurs b1, b2...

Bah nUn ça tend vers quoi

Le 14 mars 2018 à 21:09:23 the_ff3_fan a écrit :
Bah nUn ça tend vers quoi

Bah 0 je viens de le dire

nUn

n/(n+1) --> 1 en +inf

et Un --> 0 en +inf
Or phi est continue en 0 donc phi(Un)-->phi(0) en +inf

donc phi(0) ?

J'ai pas compris à quoi te sert cet argument "n/(n+1) --> 1 en +inf"

Mais sinon oui c'est ça, nUn=phi(U(n-1))->phi(0) par continuité de phi

[04:37:32] <Vallyr>
J'ai pas compris à quoi te sert cet argument "n/(n+1) --> 1 en +inf"

Mais sinon oui c'est ça, nUn=phi(U(n-1))->phi(0) par continuité de phi

Le produit d'une suite bornée et une suite qui tend vers 0, tend vers 0

je dois trouver deux réels b1 et b2 tels que Un = b0/n + b1/n^2 + b2/n^3 + o(1/n^3)(n->+inf)

Fais un DL en 0 de phi, comme u_n tend vers 0.

Le 16 mars 2018 à 19:24:49 Prauron a écrit :
Fais un DL en 0 de phi, comme u_n tend vers 0.

Je pose phi(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + o(x^2)(x->0)

Or nUn = Phi(U_n-1) donc je remplace tous les x par U_n-1 et ensuite je remplace U_n-1 par b0/n + o(1/n)?

Oui, sachant que a_0 = b_0 = phi(0), a_1 = phi'(0) et a_2 = phi''(0)/2.