Savoir & Culture

Salut

Je bloque un peu sur le passage à la dernière ligne, pourquoi est ce que la dérivée seconde par rapport à z vaut k² ? Et aussi d’où vient le facteur i devant le terme de frottement visqueux ?

Merci d’avance

Tu cherches les solutions de la forme x=exp(i(kx-wt))

Dériver x spatialement 2 fois ca revient a le multiplier par -k^2 , le deriver temporelllement 1 fois c'est multiplier par -iw et 2 fois par -w^2
Donc apres avoir tout dériver il ne te reste qu'a simplifier par x a gauche et a droite pour avoir ta derniere ligne, c'est exactement comme en electromagnetisme si t'es habitué

Au cas ou tu pourrais te demander d'ou vient le x=exp(i(kz-wt))

L'énoncé demande de caractériser la PROPAGATION des ONDES de compression LONGITUDINALE le long de la corde
Donc tu cherches les solution qui caractérisent des ondes progressive elles sont donc de la forme exp(i(k.r-wt)) avec k.r qu'il faut lire "vecteur k produit scalaire le vecteur r=x Ux + y Uy + z Uz " (avec Ux, Uy , Uz les vecteurs unitaire) ici on te dit que c'est longitudinale le long de la corde donc le vecteur k est selon Uz
Donc k.r devient kz
Les solution recherchés sont donc de la forme exp(i(kz-wt)) mais ca aurait très bien pu etre exp(i(wt-kz)) ce sont 2 convention différentes , ici tu peux savoir laquelle est utilisée en regardant la premiere dérivée temporelle de x tu vois que c'est -iwx et non iwx donc la convention utilisée dans tes calculs c'est exp(i(kz-wt))

dans mon premiere message la premiere il faut la lire avec exp(i(kz-wt)) pas exp(i(kx-wt))

Merci beaucoup mais y a un truc ou je bloque.
Une onde progressive c’est simplement une fonction du type f(z-vt) ici pourquoi est ce que tu as considéré que la solution est harmonique ( en cos(...) ) ?

La relation de dispersion c'est savoir ce que vaut w sachant k (ou la reciproque). La facon la plus simple de faire ca est de considerer une onde qui n'a qu'une seule frequence w, i.e., quelque chose en exponentielle complexe. On peut toujours se ramener a cette situation par une serie/transformee de Fourier (si tu connais ce concept).

Nop on a pas encore vu Fourrier en cours, ce qu’on utilise ce sont les phraseurs, on pose que la solution c’est la partie réelle d’un nombre complexe multiplié par exp(-iwt)

Mais je trouvais ça un peu étrange qu’on fasse l’hypothese qu’il y ait une solution harmonique

La relation de dispersion définit le lien entre k et oméga comme le disait Blue, donc tes un peu obligé que ce soit harmonique pour que ça apparaisse