Savoir & Culture

Bonjour
Je suis tombé sur un exemple où l'on disait que {(0,k), k appartenant à Z/5Z} était le sous-groupe de torsion de Z x Z/5Z.
Ma question c'est pourquoi ? Est-il unique ?

La torsion d'un groupe c'est l'ensemble des éléments d'ordre fini. Le seul élément de Z qui est d'ordre fini c'est 0 donc tu es obligé de prendre ta première coordonnée nulle. Z/5Z est fini donc tous ses éléments sont d'ordre fini donc il y a pas de problème pour la deuxième coordonnée.

Le 23 septembre 2018 à 10:56:38 Sureminence a écrit :
La torsion d'un groupe c'est l'ensemble des éléments d'ordre fini. Le seul élément de Z qui est d'ordre fini c'est 0 donc tu es obligé de prendre ta première coordonnée nulle. Z/5Z est fini donc tous ses éléments sont d'ordre fini donc il y a pas de problème pour la deuxième coordonnée.

Je suis d'accord avec le fait que c'est 0, car 0^k où k appartient à Z fait toujours 0.
Le truc c'est qu'on appelle ordre de x le plus petit n dans N* tel que x^n = elément neutre de Z x Z/5Z.

Sauf que si on munit Z x Z/5Z de l'addition, l'élement neutre ne sera pas le même que si on le munit de la multiplication.
Donc prendre 0 revient à considérer que l'on munit Z de l'addition, or pourquoi ne serait-il pas munit de la multiplication ? (Je sais pas si je suis très clair)

Ca depend juste de la loi que tu lui donnes de base en fzit, ca depend du contexte

Le 23 septembre 2018 à 12:26:45 The_ff3_fan a écrit :
Ca depend juste de la loi que tu lui donnes de base en fzit, ca depend du contexte

En fait la question c'est juste de montrer que Z x Z/5Z c'est un groupe de torsion mais ils le font que pour x. Du coup c'est plus rigoureux de le faire pour + aussi ?

J aurais dit qu'ils le font que pour + plutot

Et ZxZ/5Z n'est pas un groupe pour x, donc non t as pas vraiment le choix.

Z n'est pas un groupe pour la loi x.
En général, en théorie des groupes, on appelle (Z,+) Z sans préciser la loi.

Oui je voulais dire +
Merci Dagnyr pour ta précision car je me posais souvent la question

J'ai une autre question, c'est quoi le sous groupe de torsion G = Q / Z ? J'ai cru comprendre qu'il était le sous-groupe de torsion de (IR/Z , +).
Car dans un exo, pour trouver son sous groupe de torsion, on montre que c'est un groupe de torsion et on s'arrête là

G = Q/Z est le sous groupe de torsion de R/Z donc le sous groupe de torsion de G bah c'est lui même puisqu'il est déjà de torsion ....

Le 23 septembre 2018 à 21:09:20 Sureminence a écrit :
G = Q/Z est le sous groupe de torsion de R/Z donc le sous groupe de torsion de G bah c'est lui même puisqu'il est déjà de torsion ....

Ok merci
Mais si on nous demande dans un exercice de trouver le sous-groupe de torsion de G, comment on sait d'avance que c'est le sous-groupe de torsion de R/Z ?

Le 23 septembre 2018 à 22:52:09 valir00 a écrit :

Le 23 septembre 2018 à 21:09:20 Sureminence a écrit :
G = Q/Z est le sous groupe de torsion de R/Z donc le sous groupe de torsion de G bah c'est lui même puisqu'il est déjà de torsion ....

Ok merci
Mais si on nous demande dans un exercice de trouver le sous-groupe de torsion de G, comment on sait d'avance que c'est le sous-groupe de torsion de R/Z ?

Tu sais pas forcément que c'est le sous-groupe de torsion de R/Z.
Tu dois juste te poser la question "quels éléments de Q/Z sont de torsion ?"
Mais la réponse vient assez vite : un élément de Q/Z est la projection d'un rationnel p/q, qui est au plus d'ordre q dans Q/Z, donc tout élément de Q/Z est de torsion.
Donc Q/Z est son propre sous-groupe de torsion.

Etant donné que j'ai souvent des questions sur les anneaux et les groupes, dès que j'aurais une question là-dessus je la poserai sur ce topic

On a G un groupe abélien fini et H un sous-groupe de G
Il y a une question qui demande si G est isomorphe à H x G/H.

La réponse c'est non, et le contre-exemple le voici :

Soit G = Z/4Z = { [0] , [1] , [2] , [3] }
On prend H = { [0] , [2] } Le prof a dit qu'on ne pouvait pas prendre [1] ou [3], mais pourquoi ?
finalement on a que G/H est isomorphe à Z/2Z -> je comprends pas non plus pourquoi, j'ai beau lire mon cours je ne trouve aucune réponse à mes questions

Merci les clés, n'hésitez pas à donner des détails même triviaux, car ce qui est trivial pour vous ne l'est pas pour moi

1 et 3 sont premiers avec 4 donc ils engendrent tout Z/4Z
G/H est de cardinal 4/2 = 2 et tu dois savoir qu'une groupe d'ordre p premier est isomorphe à Z/pZ

Le 29 septembre 2018 à 13:35:15 Sureminence a écrit :
1 et 3 sont premiers avec 4 donc ils engendrent tout Z/4Z
G/H est de cardinal 4/2 = 2 et tu dois savoir qu'une groupe d'ordre p premier est isomorphe à Z/pZ

Merci, je ne savais pas et c'est pas marqué dans mon cours.
Par contre, pourquoi un nombre premier avec, dans notre cas, 4, engendrera tout l'espace ?

Au passage j'ai une autre question. J'ai H un sous groupe de Z² tel que H = vect { (0,9) ; (1,-2) }.
En gros faut montrer que Z²/H est isomorphe à Z/9Z.
On a H = Z (0,9) x Z (1,-2)
Donc Z²/H est isomorphe à Z/9Z x Z/Z mais ça sort d'où ça ? Où sont passés le 0 et le -2 ?

C'est un résultat classique, tu peux montrer que les inversibles de Z/nZ sont exactement les premiers avec n, ça se voit facilement avec Bezout et c'est pour cela que Z/pZ est un corps (tous les éléments sont premiers avec p donc inversibles).
Ainsi, si x est inversible dans Z/nZ, il existe un entier m tel que mx = 1 et donc si tu prends un y dans Z/mZ tu peux l'écrire y = (my)x, c'est donc que x engendre tout le groupe.

Z(0,9) c'est isomorphe à 9Z et Z(1,-2) c'est isomorphe à Z.

Le 29 septembre 2018 à 19:54:47 Sureminence a écrit :
C'est un résultat classique, tu peux montrer que les inversibles de Z/nZ sont exactement les premiers avec n, ça se voit facilement avec Bezout et c'est pour cela que Z/pZ est un corps (tous les éléments sont premiers avec p donc inversibles).
Ainsi, si x est inversible dans Z/nZ, il existe un entier m tel que mx = 1 et donc si tu prends un y dans Z/mZ tu peux l'écrire y = (my)x, c'est donc que x engendre tout le groupe.

Ok merci

Z(0,9) c'est isomorphe à 9Z et Z(1,-2) c'est isomorphe à Z.

Justement, c'est ça que je comprends pas

z -> (0,9z) et z -> (z,-2z) les isomorphismes

Le 29 septembre 2018 à 21:04:34 Sureminence a écrit :
z -> (0,9z) et z -> (z,-2z) les isomorphismes

Mais du coup d'où sort le "Z(1,-2) c'est isomorphe à Z" ?
pourquoi ce serait pas isomorphe à -2Z ?

Le 29 septembre 2018 à 18:34:15 valir00 a écrit :

Le 29 septembre 2018 à 13:35:15 Sureminence a écrit :
1 et 3 sont premiers avec 4 donc ils engendrent tout Z/4Z
G/H est de cardinal 4/2 = 2 et tu dois savoir qu'une groupe d'ordre p premier est isomorphe à Z/pZ

Merci, je ne savais pas et c'est pas marqué dans mon cours.
Par contre, pourquoi un nombre premier avec, dans notre cas, 4, engendrera tout l'espace ?

C'est un résultat fondamental d'arithmétique à propos des groupes de la forme Z/nZ :
Soit k un entier, d = PGCD(k,n), m = n/d. Alors m*k est un multiple de n, donc dans Z/nZ, k+k+...+k (m fois) = 0, donc si d > 1, k n'est pas un générateur de Z/nZ car il est d'ordre m < n.

Réciproquement, supposons que k est un générateur de Z/nZ, c'est à dire que k est d'ordre n. Alors il existe u tel que k+k+...+k (u fois) = 1 dans Z/nZ. Autrement dit, dans Z, uk - 1 = vn avec v un entier. Par le théorème de Bezout, k et n sont donc premiers entre eux.

Mais au pire, tu n'as pas forcément besoin de savoir ça. Ici, dans ton exemple tu travailles avec Z/4Z. Ce groupe n'a que 4 éléments donc tu peux tout vérifier à la main assez facilement.
Si tu regardes le sous-groupe engendré par 1, tu as dedans 1+1 = 2, 1+1+1 = 3 et 1+1+1+1 = 4 = 0. Donc 1 est bien générateur de Z/4Z.
Tu peux vérifier par toi même ce qui se passe si tu fais la même chose avec 2 et 3. Tu peux même gagner du temps en remarquant que 3 = -1.

Au passage j'ai une autre question. J'ai H un sous groupe de Z² tel que H = vect { (0,9) ; (1,-2) }.
En gros faut montrer que Z²/H est isomorphe à Z/9Z.
On a H = Z (0,9) x Z (1,-2)
Donc Z²/H est isomorphe à Z/9Z x Z/Z mais ça sort d'où ça ? Où sont passés le 0 et le -2 ?

Si tu prends (x,y) dans Z², en notant y+2x=9q+r la division euclidienne, il peut s'écrire
(x,y) = x*(1,-2) + q(0,9) + (0,r)

Une fois qu'on a remarqué ça, on peut faire le raisonnement suivant :
Soit f le morphisme de Z² vers Z/9Z défini par f(x,y) = 2x+y mod 9.
Si (x,y) appartient à H, (x,y) peut s'écrire a(1,-2) + b(0,9), d'où f(x,y) = 2a - 2a + 9b = 0 mod 9
Donc H est inclus dans le noyau de f, et f définit donc un morphisme f' de Z²/H vers Z/9Z.

De plus, si f(x,y) = 0, 2x+y est un multiple de 9 et (x,y) = x(1,-2) + (2x+y)/9 * (0,9) et appartient donc à H.
Donc H = Ker f et le morphisme f' est donc injectif.

Je te laisse vérifier que f' est également surjectif.

Je t'avoue que mes cours de théorie des groupes sont lointains donc je ne sais plus s'il y a un moyen plus simple de montrer ça en utilisant uniquement la théorie des groupes. On peut faire plus simple si on s'autorise à utiliser de l'algèbre commutative (théorie des anneaux et des modules).

Typiquement, l'argument de Sureminence est une manière intuitive de comprendre le résultat, mais c'est pas très rigoureux (par exemple, 9Z est isomorphe à Z donc ça n'apporte pas énormément d'information).