Savoir & Culture

On dit que f est continue sur I si

Pour tout a de I :

Pour tout b > 0 , Il existe un c > 0 tel que pour tout x appartenant à I, (|x - a| =< c) => ( |f(x) - f(a)| =< b)

Logiquement ça implique qu'il existe un d > 0 tel que : (|x-a| < d) => (|f(x) - f(a)| < b), mais je ne trouve pas ce résultat dans mon cours, vous validez ou pas ?

Oui, il suffit de prendre n'importe quel d > c

Le 25 mars 2019 à 23:01:03 Jooord a écrit :
Oui, il suffit de prendre n'importe quel d > c

C'est votre dernier mot ?

J'ai essayé de faire une preuve par l'absurde :

Supposons qu'il existe un b>0 tel qu'il n'existe pas de d > 0 tel que : (|x-a| < d) => (|f(x) - f(a)| < b) ,

Or nous savons qu'il existe un c tel que (|x-a| =< c) => (|f(x) - f(a)| =< b)

Fixons w < b, alors il existe un k tel que (|x-a| =< k) => (|f(x) - f(a)| =< w)

si on pose d < k, alors on a : (|x-a| < d < k) => (|f(x) - f(a)| =< w < b)

Pour tout b>0, il existe donc un d > 0 tel que (|x-a| < d) => (|f(x) - f(a)| < b).

Soit b>0.
Donc b/2 >0, et il existe c tel que si |x-a| =< c alors |f(x)-f(a)| =< b/2
Donc en particulier, si |x-a|< c alors |f(x)-f(a)| =< b/2 < b (=b')

Désolé, la deuxième inégalité stricte est passée à la trappe.

Le 26 mars 2019 à 10:34:36 Jooord a écrit :
Désolé, la deuxième inégalité stricte est passée à la trappe.

Ça ne marche toujours pas 🙊

Le 26 mars 2019 à 10:48:03 Fuligule a écrit :

Le 26 mars 2019 à 10:34:36 Jooord a écrit :
Désolé, la deuxième inégalité stricte est passée à la trappe.

Ça ne marche toujours pas 🙊

Qu'est-ce qui ne marche toujours pas? Ce que je dis c'est que je n'avais pas vu l'inégalité stricte dans la partie |f(x) - f(a)| < b. Donc forcément ma réponse ne colle pas (et je ne proposais pas qu'elle colle mieux avec mon addendum...)

Le 26 mars 2019 à 16:51:45 Jooord a écrit :

Le 26 mars 2019 à 10:48:03 Fuligule a écrit :

Le 26 mars 2019 à 10:34:36 Jooord a écrit :
Désolé, la deuxième inégalité stricte est passée à la trappe.

Ça ne marche toujours pas 🙊

Qu'est-ce qui ne marche toujours pas? Ce que je dis c'est que je n'avais pas vu l'inégalité stricte dans la partie |f(x) - f(a)| < b. Donc forcément ma réponse ne colle pas (et je ne proposais pas qu'elle colle mieux avec mon addendum...)

Même avec l'inégalité large à droite, « prendre n'importe quel d > c » n'aurait pas marché non plus, tu raisonnes à l'envers.
En supposant que

Pour tout b > 0 , Il existe un c > 0 tel que pour tout x appartenant à I, (|x - a| =< c) => ( |f(x) - f(a)| =< b)

Si on veut prouver que ça implique « qu'il existe un d > 0 tel que : (|x-a| < d) => (|f(x) - f(a)| ≤ b) »
On a justement pas intérêt à prendre un d > c, puisqu'on ne saurait plus ce qu'il se passe pour les x tels que c < |x-a| < d.

Oui... Je suis rouillé.

Dernier essai : Il suffit de prendre n'importe quel c' associé à n'importe quel b' < b

C'est ce que j'ai dit plus haut

Le 26 mars 2019 à 18:47:26 BaikenShishido a écrit :
C'est ce que j'ai dit plus haut

Non, moi j'ai dit ce qu'il suffisait de faire, toi tu l'as fait