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Savoir & Culture

Cours et Devoirs

Sujet : Zermelo et Birkhoff
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IntellectSup
Niveau 6
14 septembre 2019 à 19:32:13

Bonsoir,

Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre. On dit que E est un ensemble de zermelo si pour tous $a\neq b, \left \{ a;b \right \}$ dans E admet une borne supérieure et une borne inférieure. On dit que E est un ensemble de Birkhoff si toute partie de E admet une borne supérieure.

Première partie : on suppose la relation d'ordre totale. J'ai montré que E est de Zermelo
E admet-il forcément un plus grand et un plus petit élément ? .J'ai compris comment le faire mais c'est très peu formel :

On suppose que E a certains éléments $\left \{ a,b,c..., \right \}$ On va utiliser le fait que E est de Zermelo plutôt que le fait que la relation d'ordre est totale afin de ne jamais prendre les mêmes éléments.
Pout toute partie à deux éléments de E on a a $a\preceq b ou b\preceq a$ avec la borne sup et inf qui est atteinte puisque la relation d'ordre est totale. Quitte à permuter $a et b$ on prend $a\preceq b$ Soit $\left \{ b;c \right \}$ une partie de E. Quitte a permuter $a$ et $c$ on a $b\preceq c$ Par transitivité de la relation d'ordre on c qui est un majorant de $x$ pour x dans $ left\{ a,b;c \right \}$ . Ainsi, on atteint petit à petit tous les éléments en prenant à chaque fois des parties de E a deux éléments, ce qui nous permet d'affirmer l'existence d'une borne supérieure atteinte. On raisonne de même en prenant A pour montrer que E
Deux problèmes : c'est peu formel, compliqué et long et il me semble pas qu'il soit aussi simple de permuter les variables

Dans cette question on suppose que E est un ensemble de Birkhoff (on ne suppose plus la relation d'ordre totale)
Montrer que E a un plus grand élément et un plus petit élément.

Des pistes ?

Merci

the_ff3_fan
Niveau 20
14 septembre 2019 à 19:40:06

Ou alors tu donnes un contre exemple tout con, tu connaitrais pas un ensemble muni d'une relation d'ordre totale qui n'a pas de plus petit ou de plus grand élément ? :hap:

[BAN]DonDoritos
Niveau 10
14 septembre 2019 à 19:53:21

Pour la dernière question que peux-tu dire de $\sup E$ et $\sup \varnothing$ ?

IntellectSup
Niveau 6
14 septembre 2019 à 20:11:22

L'ordre usuel. Cependant E est quelconque ici et si on considère l'ensemble des entiers naturels compris entre 0 et n on a bien un majorant et en plus petit élément. La relation est totale et E est de Birkhoff

IntellectSup
Niveau 6
14 septembre 2019 à 20:26:47

On a sup vide = vide mais je sais pas ce que donne sup E.

[BAN]DonDoritos
Niveau 10
14 septembre 2019 à 20:45:08

E (de Zermelo) admet-il forcément un plus grand et un plus petit élément ?

Regarde $E = \mathbb N$ avec l'ordre usuel.

Le 14 septembre 2019 à 20:26:47 IntellectSup a écrit :
On a sup vide = vide mais je sais pas ce que donne sup E.

Vide je ne sais pas, c'est un élément de E par hypothèse.
On te demande d'établir l'existence d'un min et d'un max sur E.

Pseudo supprimé
Niveau 8
15 septembre 2019 à 18:40:00

Ça s'appelle pas plus généralement un treillis ce que t'appelles un ensemble de Zermelo d'ailleurs ?

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Sujet : Zermelo et Birkhoff
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