Savoir & Culture

Salut,

Je comprend pas la démonstration de la proposition :

Si X est une variable aleatoire prenant ses valeurs dans [0;1] alors Var(X) <= 1/4

Dans mon cours j'ai :
Pour tout réel y, Var(X) <= E[(X-y)^2] <= 1/4, et donc pour y = 1/2 en particulier, en utilisant |X -1/2| <= 1/2, par hypothèse on obtient Var(X) <= E[(X-(1/2))^2] <= E[1/4] = 1/4

Perso j'ai juste compris "Pour tout réel y, Var(X) <= E[(X-y)^2]"
Je vois pas d'ou sort le <= 1/4 deja

Soit m la moyenne de X.
Var[X]=E[X²] -m² or 0≤X≤1 donc X²≤X et E[X²]≤E[X] = m puis Var[X]≤m - m² = m(1-m) et le max est au sommet de la parabole ie m=1/2

Le 22 novembre 2019 à 00:57:36 Deathrowrecord a écrit :

Le 21 novembre 2019 à 18:18:09 DonDoritos3 a écrit :
Soit m la moyenne de X.
Var[X]=E[X²] -m² or 0≤X≤1 donc X²≤X et E[X²]≤E[X] = m puis Var[X]≤m - m² = m(1-m) et le max est au sommet de la parabole ie m=1/2

Propre, merci
J'ai une deuxieme question stp
voici la proposition de la linéarité de l'esperence et la démo la démo n'est pas compliqué mais

Il dit que pour montrer que E[aX+b] = aE[X] + b il suffit de prendre f1 = ax et f2 = b
Mais dans ce cas la f1 et f2 ne sont pas intégrables non ?

Je pose peut être des questions de merde, je sais pas, mais ca me bloque en tout cas merci pour la réponse

Ici on dit que si f1 et f2 sont intégrables alors f1 et f2

Pourquoi f1 et f2 ne seraient pas intégrables ? f1 = a*x est intégrable car X l'est, et une constante b est toujours intégrable (par rapport à une mesure de proba)

Le 22 novembre 2019 à 10:43:53 quine_ a écrit :

Le 22 novembre 2019 à 00:57:36 Deathrowrecord a écrit :

Le 21 novembre 2019 à 18:18:09 DonDoritos3 a écrit :
Soit m la moyenne de X.
Var[X]=E[X²] -m² or 0≤X≤1 donc X²≤X et E[X²]≤E[X] = m puis Var[X]≤m - m² = m(1-m) et le max est au sommet de la parabole ie m=1/2

Propre, merci
J'ai une deuxieme question stp
voici la proposition de la linéarité de l'esperence et la démo la démo n'est pas compliqué mais

Il dit que pour montrer que E[aX+b] = aE[X] + b il suffit de prendre f1 = ax et f2 = b
Mais dans ce cas la f1 et f2 ne sont pas intégrables non ?

Je pose peut être des questions de merde, je sais pas, mais ca me bloque en tout cas merci pour la réponse

Ici on dit que si f1 et f2 sont intégrables alors f1 et f2

et une constante b est toujours intégrable (par rapport à une mesure de proba)

On dit que f est intégrable si son intégrale est finie non ?

Intégrale sur oméga de b dP ça fait b*P(Oméga) =b donc c'est fini