Savoir & Culture

bon la formulation va être un peu foireuse donc je préfère procéder avec un exemple.
Par exemple 121
si on prends le premier couple de chiffre 1 et 2
le nombre 121 contient bien 1 fois le chiffre 2
on décale d'une unité on a le couple 2 et 1
le nombre 121 contient bien 2 fois le chiffre 1

Je sais pas si cette propriété à déjà un nom on va dire un nombre auto-descriptif.

Quel est le plus grand nombre auto-descriptif ? (sachant qu'il peut y avoir au maximum 9 itérations d'un même nombre.)

En base 2, c'est 10.
En base 3, c'est 1210.
Un peu plus long à chercher en base 4, mais c'est aussi 1210 (il faut aller jusqu'à des nombres à 7 ou 8 chiffres pour que les dernières contradictions apparaissent).
Ma conjecture : ce serait 1210 dans notre système décimal aussi

Bah 999999999 marche déjà

Oh le débile, je m'évertuais à mettre un 0 à la fin en me disant que ça ferait forcément un nombre plus grand et que ça n'avait aucune influence à gauche

Du coup il y a 89 89 89 89 89 89 89 89 8 qui fonctionne aussi

Et c'est le plus grand, car on ne peut pas faire de nombre ayant plus de trois chiffres distincts (à part 1210, 1213, 1214, ..., 1219).

Pour prouver ça, on regarde le chiffre qui apparaît le plus de fois (disons le chiffre c, qui apparaît k fois), et on remarque en remontant en arrière que la portion entre deux occurrences de c doit toujours être la même

...cXcXcXcXc...

Du coup, tous les chiffres qui apparaissent dans la portion X doivent apparaître au moins k-1 fois, et au plus k fois (car on a pris le k maximum). Le cycle ne peut donc contenir que deux chiffres différents au mieux.

Ce qui se passe avant le premier c doit être un suffixe de X (rien de nouveau), et ce qui se passe après le dernier c n'est pas fou non plus