Savoir & Culture

bonsoir,

je me demandais juste pourquoi est-ce que quand une fonction dérivée est nulle, sa primitive est constante, mais la constante n'est pas pareille en tous points...

par exemple arctan(x) + arctan(1/x) : sa dérivée est nulle, donc logiquement sa fonction est constante, sauf que de part et d'autre de 0, la constante n'est pas la même

bon après réflexion en écrivant ce message, c'est parce qu'elle n'est pas définie en 0, donc elle est constante entre moins l'infini et 0 exclu, et 0 exclu plus l'infini, elle est constante sur ces deux intervalles.
c'est la bonne explication ?

et du coup, la fonction partie entière doit être un calvaire à étudier, non ?

Même si c'était défini en zéro, ça ne marcherait pas. C'est vraiment le caractère dérivable sur un intervalle qui fait que ça fonctionne.

Si tu te rappelles de la preuve de ce résultat, c'est une application du théorème des accroissements finis.
Si a et b sont dans I intervalle (non trivial) avec f' = 0 sur I, alors comme [a,b] est contenu dans I par le TAF il existe c dans [a,b] tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) = 0. Soit f(a) = f(b).

S'il y a un trou entre a et b, le raisonnement s'effondre. Ce qui est caché derrière c'est le TVI, d'où l'importance d'être sur un domaine d'un seul tenant : un intervalle

Quant à la partie entière, bah elle est ce qu'elle est; constante sur les [n,n+1[ avec des bonds de un en un.

Plus généralement, si ton domaine est en "plusieurs morceaux" (on dit qu'il est pas connexe), alors la constante peut être différente sur chaque morceau (ou composante connexe) ou la dérivéee est identiquement nulle. C'est plutôt logique car la dérivabilité c'est une notion locale, donc ce qu'il se passe sur un morceau n'affecte pas les autres morceaux.

Sinon dériver la partie entière ça a relativement peu d'intérêt, en plus elle est même pas dérivable partout sur son ensemble de définition.

la dérivée représente le taux de variation, l'intuition que donne le symbol dy/dx est très bonne. si ta différence en y (i.e dy) est nulle (i.e y est constante), alors la dérivée est nulle.

merci !

Merci aussi ça va m'être utile.