Savoir & Culture

B'jour les gens !

Une petite question suite à un détail un peu étrange que j'ai lu dans Algebraic Topology de Hatcher.
Je suis à la partie où j'étudie les transformations de revêtement (page 72 dans la dernière version), et je souhaite démontrer la proposition 1.40, qui dit que si j'ai une action d'un groupe G sur un espace Y par homéomorphisme qui est proprement discontinue (pour tout y dans Y, il existe U ouvert contenant y tel que g1.U n g2.U vide si g1 =/= g2), et que si Y est connexe par arcs, alors la projection p:Y ---> Y/G est galoisien, et son groupe des transformations de revêtement est isomorphe à G.

Je suis d'accord avec la preuve de Hatcher, mais un petit détail me rends très perplexe. En fait, on a déjà de façon trivialement que G est inclut dans le groupe des transformations de revêtement. Réciproquement, si f est une transformation de revêtement, p o f = p donc pour tout y, f(y) = g.y avec un certain g qui dépends de y. Donc en particulier, f coïncide en un point avec la transformation de revêtement induite par g. Et là, Hatcher applique le théorème d'unicité du relèvement pour conclure que f est exactement l'homéomorphisme induite par g, en disant:

"[...] hence f = g since deck transformations of a patch-connected covering space are uniquely determined by where they send a point."

Et là un truc me dérange. C'est pas faux, ce qu'il dit. Mais il a supposé au départ "connexe par arcs". Or ... le théorème d'unicité du relèvement le long d'un revêtement s'applique dans le cas connexe. La connexité par arcs étant une hypothèse plus contraignante, c'est vraiment étrange d'avoir fait ce choix ... Y'a-t-il un détail dans lequel la connexité par arcs apparaît ? Honnêtement, je ne vois pas où. Durant toute la démonstration, la connexité par arcs n'intervient qu'ici, ce que je trouve étrange car une connexité toute simple aurait très largement suffit !

Merci beaucoup pour votre aide !

Pour les gens motivés, j'aurais une autre question
Si p: E ---> B et p': E' ---> B sont deux revêtements connexes, alors tout morphisme f: E ---> E' de revêtement (en gros p = p' o f) est un revêtement.
Quelqu'un aurait une idée de comment démontrer cette chose ? J'ai une démonstration, mais elle utilise une définition que je n'utilise pas. Et j'ai trouvé une potentielle démonstration MAIS ... qui n'utilise pas la connexité. Wtf.

Merci d'avance pour votre aide ;-;

Salut. J'ai passé un peu de temps à checker dans le Douady et Douady et le Bourbaki de topologie algébrique. Il faut faire attention aux définitions qui peuvent varier par contre.

À mon avis un premier constat c'est que Hatcher ne cherche pas forcément la plus grande généralité.
Je crois par exemple que dans le cas des actions, tu peux obtenir le résultat suivant:si G agit par transformations continues sur X espace topologique alors si l'action est proprement discontinue(ce que tu as dit) X est revêtement de X/G.(thm 4.1.13 du Douady et Douady)

Je ne sais pas si c'est dit quelque part dans le Hatcher. C'est dans le Douady et Douady. Ce serait un exemple de résultat général qui n'est pas forcément dans le Hatcher parce que ce n'est pas nécessaire.

Un deuxième constat c'est que pour avoir des chances d'aboutir à certains des objectifs annoncés (typiquement la classification) tu devras faire des hypothèses.
Et là on peut observer par exemple que (sauf erreur): si X est localement connexe par arcs et est connexe alors il est automatiquement connexe par arcs.
Peut-être que ça explique certaines hypothèses.

Pour ta deuxième question, j'ai trouvé dans le Douady et Douady l'énoncé suivant : Si la base B est localement connexe, si X, Y sont deux revêtements de B et f : X->Y un morphisme de revêtements alors Y est un revêtement de X. (Prop. 4.3.6).

La démo utilise la connexité.

Encore une fois: vérifier les différentes définitions...

Hey hey ! Merci pour ta réponse ! Je réponds point par point !

Le 17 mai 2020 à 17:42:57 wanadoo6 a écrit :
À mon avis un premier constat c'est que Hatcher ne cherche pas forcément la plus grande généralité.
Je crois par exemple que dans le cas des actions, tu peux obtenir le résultat suivant:si G agit par transformations continues sur X espace topologique alors si l'action est proprement discontinue(ce que tu as dit) X est revêtement de X/G.(thm 4.1.13 du Douady et Douady)

Je ne sais pas si c'est dit quelque part dans le Hatcher. C'est dans le Douady et Douady. Ce serait un exemple de résultat général qui n'est pas forcément dans le Hatcher parce que ce n'est pas nécessaire.

Effectivement, cette proposition est dans le Hatcher. Mais la proposition que je cite à mon deuxième poste est justement un exemple de proposition qui n'est pas présenté par Hatcher, car il n'en a pas vraiment besoin dans son étude (ce qui est dommage car cette proposition ajoute beaucoup de sens je trouve).

Le 17 mai 2020 à 17:42:57 wanadoo6 a écrit :
Un deuxième constat c'est que pour avoir des chances d'aboutir à certains des objectifs annoncés (typiquement la classification) tu devras faire des hypothèses.
Et là on peut observer par exemple que (sauf erreur): si X est localement connexe par arcs et est connexe alors il est automatiquement connexe par arcs.
Peut-être que ça explique certaines hypothèses.

Oui, ça j'étais déjà au courant (j'ai déjà étudié la classification des revêtements). C'est effectivement ce que je me suis dis, mais en général Hatcher, quand il explique pourquoi ça marche, il donne le point précis qui fait que ça marche justement. Par exemple, l'unicité du relèvement, il le démontre sans hypothèses locales autre que l'hypothèse de connexité de l'espace de départ des relèvements. Du coup, le fait qu'il dise "connexe par arcs" au lieu de "connexe" n'est, comme je l'ai dis, pas faux. Mais étrange, car il le démontre dans le cadre de la connexité. A sa place, j'aurais trouvé ça naturel de dire "connexe" plutôt que "connexe par arcs". Pire ! Dans sa proposition il suppose Y connexe par arcs. Pourquoi ne pas l'avoir supposé connexe ?
Certes, dans le cadre avec lequel je travaille, mes espaces sont localement connexe par arcs (et dans ce cas comme tu le dis connexe ssi connexe par arcs). Mais c'est dommage de ne pas avoir pris l'hypothèse un peu plus générale, même si effectivement il ne cherche pas la généralité ... ce qui ne l'empêche pas de le chercher parfois malgré tout !

Le 17 mai 2020 à 17:42:57 wanadoo6 a écrit :
Pour ta deuxième question, j'ai trouvé dans le Douady et Douady l'énoncé suivant : Si la base B est localement connexe, si X, Y sont deux revêtements de B et f : X->Y un morphisme de revêtements alors Y est un revêtement de X. (Prop. 4.3.6).

La démo utilise la connexité.

Encore une fois: vérifier les différentes définitions...

Pour ce point là, même si je n'ai pas encore de définitions rigoureuses, j'ai trouvé ce qui n'allait pas dans ma démonstration, et je vois où apparaît l'hypothèse de connexité Merci beaucoup en tout cas, je regarderai un peu ce que dit Douady et Douady à ce sujet !

Merci pour ta réponse ^-^

Bon. Par curiosité (ça me tracasse) je suis parti voir deux autres références :
1) Peter May A concise course:Dans le chapitre sur les revêtements, il suppose tout connexe+Loc. CPA.
2) topology and groupoids de Brown:il suppose tout loc. CPA par contre il dit que ça n'est pas essentiel pour tous les résultats et renvoie vers Hilton Wylie Homology theory 1960 et Spanier 1966 Algebraic topology. Par contre il sut que la Théorie LCPA est plus lisse et il fait quelques commentaires.

Donc je pense que Hatcher reste plus général. (Par contre Brown a un très joli traitement du groupoide fondamental et Bourbaki aussi)

Il me semble par contre que dans Spanier, ton premier résultat est énoncé (thm7 sur les transformations de revêtements) sous la forme "Y connexe".

Après j'ai l'impression que certaines références (Bourbaki?) n'évoquent pas trop de résultats sur les actions mais plus dans le cas particulier du groupe de transformations d'un revêtement (et pas le cadre "si G agit etc."

D'accord, je te remercie pour ton aide Je pense pouvoir m'en sortir avec la propriété (qui n'est pas ultra importante de toute manière, mais utile pour la compréhension).

En attendant, j'aimerais te poser une autre question du coup, car dans Hatcher c'est pas clair non plus

En fait, je travaille avec deux références. Il y a le Hatcher bien-sûr, mais aussi "Eléments de topologie algébrique" de Claude Godbillon. Et y'a des choses un peu bizarres qui concernent les CW complexes ... En particulier pour la topologie.

Un exemple simple. Hatcher explique que si X est un CW complexe de dimension n, et si on note X^k les squelettes, alors A ouvert dans X^n implique A n X^(n-1) ouvert dans X^(n-1). Et là j'ai un très gros problème ... J'ai pas réussi à me faire comprendre par mon enseignant à ce sujet. En fait, l'écriture même de cette intersection me titille. Je veux dire, X^n est obtenu par une union disjointe de X^(n-1) avec des boules de dimensions n, que nous avons ensuite quotienté par une certaine relation d'équivalence.
Du coup, A n X^(n-1) fondamentalement n'a pas de sens ... Car A est dans le quotient, mais X^(n-1) non ! Et du coup je suis gêné, car je sais pas trop ce qu'il veut dire par là. Au début, j'ai cru qu'il voulait dire, à la place de X^(n-1), son image dans le quotient. Mais en fait ça n'a pas l'air ... A moins qu'il faille remplacer A par sa préimage par l'application quotient, puis sa préimage par l'injection de X^(n-1) dans le coproduit ? Je sais pas ...

Du coup dans le même contexte, Hatcher trouve quelque chose d'évident pour la topologie définie sur le CW complexe: A est ouvert si et seulement si son intersection avec chacune des cellules fermées est ouverte dans la cellule fermée. Du coup je me pose l'exact même question ...
Mais pire que ça ! Hatcher ne parle nul part de CW-complexe "fini", c'est-à-dire avec un nombre fini de cellules. Or, Godbillon fait la distinction ... Et d'après lui, la proposition énoncée par Hatcher est vraie si le CW complexe est localement fini (pour tout point, il existe un sous-complexe fini qui le contient). Du coup je sais plus trop où donner de la tête ...

Salut.

Message préalable :j'écris ça un peu tard et il se peut que je dise d'énormes bêtises sans m'en rendre compte. Je ne prétends pas que ce qui suit soit 100% correct. J'espère juste que ça t'aidera à mieux comprendre.

Deuxième préambule :la notion de complexe cellulaire n'a pas de définition 100% canonique. Ça varie selon certains auteurs. L'essentiel est dans les propriétés homotopiques qu'on retrouve qui sont normalement toujours les mêmes (genre équivalence homotopique faible etc.)

Première remarque : dans sa définition page 5, Hatcher prend le point de vue "construction par les cellules"/squelettes. Càd que X^n est vu comme le pushout d'un certain diagramme à partir de X^n-1 et de cellules. Et X est construit iterativement comme ça disons. Dans ce cadre, il est assez aisé de définir par récurrence la notion de CW complexe de dim au plus n et puis de CW complexe quelconque comme une colimite.

Tandis que Godbillon dans sa définition prend le point de vue "description par les applications caractéristiques". Càd qu'à un espace topologique X on donne une décomposition via des applis de la boule D^n dans X.

Attention dans ce qui suit je n'utilise pas exactement tes notations. J'espère que ça ne crée pas de confusion.

Les deux points de vue sont sensiblement équivalents mais je le précise quand même.

Pour ta première question, je fais d'abord un rappel sur les attaches : soient Y esp. top., A sous espace fermé de Y et f:A->X continue. Je note V=X + Y/~ où ~ est engendré par a ~ f(a) et + est l'union disjointe/somme topologique. Alors l'application canonique X -> V est un embedding fermé.
En particulier on peut voir X comme un sous-espace fermé de V.

Dans le cas qui nous intéresse, on a X=X^n-1, Y=D^n (ou une union de...), A=S^n-1(qui est un bien un fermé de D^n) et V=X^n. Donc on peut correctement voir X^n-1 comme un sous-espace fermé de X^n en confondant avec l'image de l'application précédente.(puisqu'il lui est homeo par l'embedding).

Dès lors, si S est ouvert dans X^n alors S n X^n-1 est ouvert dans X^n-1 simplement par définition de la topologie trace/sous-espace.

Pour ta seconde question, j'avoue ne pas être entièrement certain. Le problème dans la définition page 5 de Hatcher est qu'elle n'est pas complète. Si on veut la faire rigoureusement, soit on part d'un espace X et on définit ce que veut dire une décomposition CW dessus (type"applications caractéristiques" comme Godbillon) soit on reste sur la définition itérative/inductive et on définit un espace CW comme un espace homéomorphe à une colimite d'espaces CW de dimensions <=n (obtenus par pushout donc). Donc je ne suis pas sûr à 100% de ce que veut dire Hatcher. Mais selon toute vraisemblance c'est la version colimite.

Rappelons que dans ce cas X est muni de la topologie finale engendrée par les X^n -> X donc la topologie la plus grande telle que les X^n->X sont continues.

Du coup S est ouvert dans X ssi la preimage de S dans les X^n (ou si tu veux par identification, l'intersection de S avec X^n) est ouvert. Et pareil pour les fermés.

Et en fait on peut montrer que la topologie est aussi celle finale pour les applications caractéristiques D^n->X.

En fait dans Godbillon je crois que le contentieux se fait soit sur la définition d'une cellule soit sur la définition d'un CW complexe et à mon avis c'est sur la deuxième notion(donc définition de CW complexe). Là tout de suite je ne suis pas sûr que sa définition impose d'emblée la topologie faible engendrée par les squelettes ou engendrée par les cellules sur l'espace total X (contrairement à Hatcher et autres). C'est donc peut-être un peu plus général.

J'arrête là mais je laisse une référence qui t'aidera peut-être : Geoghegan Topological methods in group theory a un bon chapitre 1 sur les CW complexes (définition via les squelettes) et qq trucs dans son chapitre 10 sur les complexes localement finis.

Il fait la définition par les squelettes mais pour un espace déjà donné donc pas avec colimite mais ça revient au même vu qu'il met la topo faible sur X.
Tu peux comparer ça efficacement à mon avis avec Godbillon pour voir la différence.

Le reste du livre est intéressant mais hors sujet.

Je rajoute deux points qui t'aideront à voir plus clair même si ils ne donnent pas la réponse finale.

1)Il y a une distinction à faire entre "complexe cellulaire" et "CW complexe". Un complexe cellulaire au sens topologique classique je pense que c'est un peu dans le genre de Godbillon c'est-à-dire en général un espace obtenu par recollement de cellules via des pushouts (définition du nlab aussi qui est un peu plus générale). Par contre rien n'oblige la topologie de l'espace à être la topologie faible engendrée par ces recollements.

2)D'après le nlab, le CW veut dire "closure finiteness weak topology" donc un CW complex est un cas particulier de complexe cellulaire (disons à la Godbillon) où la topologie est la topologie faible et (closure finiteness=un compact du CW complexe intersecte l'intérieur d'un nb. fini de cellules uniquement).

Et tu remarqueras qu'il me semble que Godbillon utilise uniquement le terme complexe cellulaire et pas CW complexe.

Hatcher par contre confond les deux notions. Donc la terminologie n'est pas entièrement précise. Sans oublier les différences qu'on trouve même entre les auteurs (typiquement quels types d'applications de recollement sont autorisées etc. )

Tu trouveras par exemple sur math stack exchange une question "precise official definition of a cell complex" qui évoque ce second point.

Mais je suis presque sûr que pour les utilisations homotopiques ça ne change rien.

Sinon Hatcher a aussi un appendice(que je n'avais pas vu) sur les complexes cellulaires.

Bon courage.

Le 23 mai 2020 à 04:17:53 wanadoo6 a écrit :
Et tu remarqueras qu'il me semble que Godbillon utilise uniquement le terme complexe cellulaire et pas CW complexe.

AH ! En effet, c'est une excellente remarque que je n'avais pas remarqué !

Sinon pour le reste je suis d'accord avec tes dires Donc si j'ai bien compris, il faut voir S n X^n comme étant la préimage de S dans le coproduit dans X^n ? Je pense que ça éclaircit beaucoup de choses

Merci beaucoup pour ton aide, je posterai à nouveau ici si besoin

Je le vois comme ça : lorsqu'on travaille avec une limite catégorique d'un diagramme, on généralise la limite projective d'un système qui généralise le produit. On a donc des flèches "projections" depuis la limite vers le diagramme.

Dualement, la colimite généralise la limite inductive qui généralise le coproduit/la somme et donc on a des flèches """""injections"""" (c'est faux évidemment en général mais je n'ai pas le bon mot là) depuis le diagramme vers la colimite.

Si on travaille topologiquement et qu'on veut mettre une topologie sur la limite ou la colimite, on mettra la topologie faible optimale qui rend ces morphismes continus. Dans les cas usuels on se ramène au produit ou à la somme topologique.

Maintenant, pour répondre à ta question sur S n X^n où S est inclus dans X= union disjointe des X^n : il me semble que les injections (elles le sont vraiment pour le coup) de X^n dans X sont en plus d'êtres continues (par définition de la topologie finale sur X) fermées et ouvertes et sont donc des embeddings. Donc on peut voir X^n comme un sous-espace de X en le confondant avec son image par l'injection canonique.

Donc ça fait bien sens de voir S n X^n comme une vraie intersection dans X l'union disjointe totale des X^n avec un petit abus : on devrait écrire S n phi_n (X^n) où phi_n : X^n -> X est l'injection canonique. Cependant comme phi_n est un embedding topologique, on omet de l'écrire et on confond X^n et phi_n (X^n) (qui sont homéomorphes et donc indistinguables topologiquement).

Tu écris aussi "la préimage de S dans le coproduit dans X^n ?" là je ne sais pas si du coup tu prends un S qui est un sous-ensemble de X^(n+1). Dans ce cas, la réponse que je donne reste la même, mais pas pour les mêmes raisons : on voit X^n comme un sous-espace de X^(n+1) grâce à l'application canonique f_n : X^n -> X^(n+1) obtenue via la définition du coproduit.

Dans le cas très précis qui nous intéresse, cette application est un embedding fermé (ça marche d'après la propriété sur les attaches que j'ai citée plus haut et pas à cause d'un résultat général sur les sommes topologiques contrairement au cas de X plus haut).

Donc on peut encore voir X^n comme un sous-espace de X^(n+1). Dans ce cas, l'intersection S n X^n devrait plutôt se lire S n f_n (X^n) si tu veux être plus rigoureux. Là encore, par abus, on omet d'écrire f_n (puisque X^n est homéomorphe à f_n (X^n) ).

J'espère que c'est plus clair.

Il est possible que ton idée (prendre la pré image) donne un résultat correct (exercice ? :p ) mais elle ne correspond pas vraiment à l'intuition des CW complexes à mon sens : quand on prend l'intersection S n X^n avec S inclus dans X^(n+1) ou X on veut vraiment (et on peut, à identification par un embedding près) voir X^n comme un sous-ensemble du suivant X^(n+1) ou de la totalité X.

Par contre là où ton idée est juste c'est sur la définition de la topologie (en tout cas pour la totalité X) : par définition de la topologie finale sur X, on a effectivement que S est ouvert dans X ssi phi_n ^-1 (S) ouvert dans X^n (où j'ai gardé le phi_n du début).

Voilà ma vision des choses. N'hésite pas à me reprendre là-dessus si tu n'es pas d'accord.

Excuse moi, je vais pas répondre tout de suite à ton poste

J'aurais une autre question avant, liée avec les CW-complexe, mais de dimension 1
En fait, j'ai besoin de démontrer que dans graphe connexe, tout arbre est inclus dans un arbre maximal (un arbre qui contient tous les sommets du graphe). La démonstration est cependant un peu obscure, et mon encadrant suggérait l'utilisation du lemme de Zorn.
Je cherche un peu, et je trouve une référence (Munkres, Topology second edition) qui propose justement une démonstration avec l'aide du lemme de Zorn. Sa démonstration me plaît et j'aimerais beaucoup pouvoir l'adapter dans ma situation.
Le hic, c'est que bien sûr, Munkres n'a pas la même définition que Hatcher pour un arbre maximal. Pour lui, un arbre maximal est un arbre qui n'est contenu dans aucun autre arbre distinct. Cette définition est un peu plus cohérente avec le terme "maximal". Néanmoins, j'aimerais essayer de garder la définition de Hatcher. Je ne pense pas que changer brutalement de point de vu pour prendre celui de Munkres changerait beaucoup de choses, du moment que l'espace est simplement connexe (ce qui est démontré par Munkres). Mais j'aimerais en fait essayer de démontrer l'équivalence.

Et en fait ... elle est démontrée par Munkres. Mais, encore un hic, sa définition d'arbre diffère de celle d'Hatcher. Pour Hatcher, un arbre est juste un sous-complexe cellulaire contractile. C'est assez logique, ça se voit bien sur un dessin. La définition de Munkres consiste à définir les "edge path". Un "edge path", c'est une suite finie de côtés e_1, ..., e_n orientés tels que la fin de e_i est le même que le début de e_i (pour pouvoir définir effectivement un chemin). Il appelle "closed edge path" un edge path qui commence et termine au même point (un lacet en quelque sorte). Un edge path est dit réduit si pour tout i, e_i+1 n'est pas le même côté que e_i dans le sens contraire (en gros si on ne fait pas de demi-tour).
On peut donc enfin définir un arbre: il s'agit d'un sous-espace connexe qui ne contient pas de "closed edge path". Intuitivement, il n'y a pas de lacet non trivial quoi ...

Du coup pour l'équivalence je coince un peu. Par exemple, si on suppose que T est un arbre qui contient tous les sommets, et qu'on suppose qu'il est contenu dans un arbre T' distinct de T, alors il existe A un côté dans T' mais pas dans T. Et puisque les extrémités sont dans T par hypothèse, on définit facilement un "closed edge path" dans T'. Mais avec la définition que j'ai d'un arbre, ce n'est pas trivial ... Avec la définition de Munkres, c'est direct, T' n'est pas un arbre d'où l'absurdité. Mais avec la définition de Hatcher ... ça se voit, intuitivement je me dis qu'il y a une sorte de copie du cercle dans l'arbre, et ne peut donc être contractile, mais ... à démontrer ce n'est pas aussi simple.

Pour résumer, il faudrait que je démontre que les deux définitions d'arbre sont équivalentes. Mais je ne vois pas comment le faire sans que ce soit lourd à écrire. Aurais-tu une idée ?
Merci d'avance pour ton aide !!

Je change ma question

Montrer l'équivalence des deux définitions serait super cool, mais je pense que je vais garder la démonstration de Hatcher. Du coup, je vais t'expliquer un peu sa démonstration, et te dire ce qui me dérange, car il passe totalement à côté d'un argument difficile à trouver je trouve ...

On veut démontrer que tout arbre dans un graphe connexe est contenu dans un arbre maximal. Soit X0 un arbre de X. Si on suppose X_i construit, on construit X_i+1 comme étant X_i auquel on adjoint les segments fermés des côtés dans X \ X_i. Alors l'union des X_i est égale à X, car elle est ouverte et fermée dans X connexe.

Posons Y_0 = X_0. Si on suppose Y_i construit tel qu'il contient tous les sommets de X_i, alors on construit Y_i+1 comme étant Y_i auquel on adjoint les segments reliant un point de Y_i à un point de X_i+1 \ X_i. On pose Y l'union des Y_i. Et là, il s'agit de démontrer que ceci est un arbre ... Et je te recopie ce que dit Hatcher, car j'y comprends rien:

"It is evident that Y_i+1 deformation retracts to Y_i, and we may obtain a deformation retraction of Y to Y_0 by performing the deformation retraction of Y_i+1 to Y_i during the time interval [1/2^(i+1) ; 1/2^i]. Thus a point x in Y_i+1 \ Y_i is stationary until this interval, when it moves into Y_i and thereafter continues moving until it reaches Y_0. The resulting homotopy h_t: Y ---> Y is continuous since it is continuous on the closure of each edge and Y has the weak topology."

Je n'arrive pas à comprendre comment il peut faire cette réaction alors que l'union peut être infinie ... Aurais-tu une idée ?

Tout d'abord : active LaTeX pour le reste du post.

Si j'ai bien compris ce qu'il fait, voici comment il procède : il affirme tout d'abord que $ Y_{i} $ est un deformation retract de $ Y_{i+1} $. Admettons ça pour l'instant. Soit $ f^{i}_{t} \colon Y_{i+1} \rightarrow Y_{i} $ (avec $ t \in [0,1] $) un deformation retract de $ Y_{i+1} $ vers $ Y_{i} $. On rescale $ [0,1] $ en $ [\frac{1}{2^{i+1}},\frac{1}{2^i}] $ pour travailler en fait avec $f^{i}_{t}$ mais avec $ t\in [\frac{1}{2^{i+1}},\frac{1}{2^i}]$.

Pour l'explication intuitive du full deformation retract : on fait un retract de la tour des $Y_i$ étage par étage en cascade de haut en bas en laissant à chaque étape fixé les niveaux au-dessus.

En symboles maintenant.

On va définir $h_{t} \colon Y \rightarrow Y$ un « deformation retract » de $Y$ sur $Y_0$. Pour ça, si $t=0$ on pose $h_0=id$. Si $t>0$ alors $i(t) =\lfloor -\log_{2}(t) \rfloor $ est l'unique $i$ tel que $t\in ]\frac{1}{2^{i+1}},\frac{1}{2^i}]$. On définit donc $h_t$ par $h_t(y)=y$ pour $$y\in \bigcup_{k>i(t)}Y_{k+1}$$ et $h_t=f^{i(t)}_{t}$ sur $Y_{i(t)+1}$.

Je crois que l'argument de topologie faible qu'il donne montre que chaque $h_t$ est continue. Je pense qu'une légère modification de son argument doit pouvoir montrer que $ h(t,y) $ est continue aussi, vu la forme de $ h $ (en gros soit l'identité soit un retract dont on "sait" qu'il est continu en $ (t,y) $.)

De plus on a $ Y_0 \subset Y_i $ pour tout $ i $ dont on a $ h_t $ restreinte à $ Y_0 $ qui est l'identité. Et $h_1$ envoie sur $Y_0$ parce que $h_t$ (pour $ t \in [1/2, 1]$ est un retract de $Y_1$ sur $Y_0$.

J'ai peur qu'il y ait un petit bug dans les définitions à cause des extrémités (parce qu'on a envie d'utiliser des segments pour rescale [0,1] ) mais je ne pense pas parce que $ i(t) $ plus haut est unique et propre. Par exemple, on peut checker que $h_1 = f^{0}_{1} $ qui est bien un retract sur $Y_0$.

J'ai mis de côté l'existence des $ f^i $ au début. En fait, je ne suis pas complètement certain de la définition que prend Hatcher pour ses $Y_i$ : est-ce qu'il fait une simple union disjointe ? ou un adjunction space? (attachement).

Dans les deux cas, l'argument derrière ce retract $f^i$ est le suivant : un segment est contractile. Mais la preuve technique est peut-être un peu différente, notamment dans le cas du quotient (il faut faire attention à deux trois choses).
Je laisse ça de côté, peut-être y arriveras-tu plus simplement que moi.

Dis-moi si ça fonctionne ou au moins si ça clarifie l'argument de Hatcher. J'ai commencé à écrire un truc plus long sur le reste (le post précédent) mais on verra ça plus tard.

Oui, je pensais effectivement au même argument que toi, bien que ce soit pénible à écrire

Je voulais être convaincu que l'argument était bien cela, car la continuité est, mine de rien, pas vraiment évidente ...
On continue en pv, j'ai vu que tu as envoyé une référence qui pourrait vraiment m'intéresser Merci beaucoup pour ton aide !