Savoir & Culture

Salut !

J'ai cet énoncé :

Vous avez 9 pièces de monnaie en votre possession, dont 2 pièces de Belgique, 3 pièces de Suisse et 4 pièces de France. Si vous lancez toutes les pièces en même temps et que vous n’en attrapez que deux dans chaque main, quelle est la chance que vous ayez exactement deux pièces identiques dans au moins une de vos mains ? (Chaque pièce a la même probabilité d’être attrapée.)

Je sèche un petit peu pour formaliser le problème. Je sais que le nombre possible de manière de tirer deux fois deux pièces parmi 9 vaut : C(9,2)*C(7,2) = 756
Ensuite j'ai raisonné en calculant les nombres de cas possibles à chaque fois.
Ex : nombre de manières de tirer deux françaises dans une main et 1 française + 1 suisse dans l'autre = C(4,2)*C(2,1)*C(3,1) = 36

J'additionne tous les cas et je divise par 756 et je trouve 19% au final au lieu de 48 qui serait la réponse correcte (je n'ai pas le correctif)

Merci d'avance pour votre aide

tu as certainement oublié des cas, tu pourrais tous les lister ?

Bien sûr :

J’ai (B belgique, F France, S Suisse évidemment ):

• BB FS = C(2,2)*C(4,1)*C(3,1) = 12
• BB FF = C(2,2)*C(4,2) = 6
• BB SS = C(2,2)*C(3,2) = 3
• FF FS = C(4,2)*C(2,1)*C(3,1) = 36
• FF FB = C(4,2)*C(2,1)*C(2,1) = 24
• FF FF = C(4,2)*C(2,2) = 6
• FF SS = C(4,2)*C(3,2) = 18
• FF BB déjà compté au dessus
• SS FS = C(3,2)*C(4,1)*C(1,1) = 12
• SS BS = C(3,2)*C(2,1)*C(1,1) = 6
• SS FB = C(3,2)*C(4,1)*C(2,1) = 24
• SS BB et SS FF déjà comptés

Au total ça fait 147 manières d’avoir deux pièces du même pays dans au moins une des mains.
Donc P = 147/756 = 0,19

Je pense que tu as fait 2 erreurs :
- d'abord il faut tout multiplier par 2 : dans ton cas c'est toujours la main gauche qui a 2 fois la meme piece alors que symetriquement tu peux avoir les mêmes configs a droite (tu l'as un peu pressenti quand tu dis que SS BB est deja compté par exemple mais pas exactement ). Fais gaffe parce que c'est pas exactement une multiplication par 2, la il yaura des choses que tu auras bien comptées 2 fois
- Ensuite y a un truc assez piegeux qui fait que le nombre de cas possibles est pas exactement celui que tu dis. comme d'hab en dénombrement c'est toujours une question d'ordre qui compte ou pas. Je m'explique pour la premiere main et prenons un exemple plus simple avec 2 pieces B et 2 pieces F. Combien de manières y'a-t-il d'en tirer 2 pieces ? Toi tu as l'air de dire C(4,2) = 6 sauf que c'est pas le cas. Ce serait le cas si on pouvait faire la différence entre les pieces B et les pieces F, sauf que c'est pas le cas. Dans ce cas comme les pieces sont pareilles il y a moins de cas.

Enfin bref je sais pas si je suis clair mais comme d'hab le gros probleme dans le dénombrement c'est de savoir si l'ordre compte ou pas, et aussi pouvoir compter les cas redondants. Dans ce cas je te propose 2 solutions différentes.
- Soit tu comptes les quadruplets ordonnés (donc B1B2 S1S2 serait différent de B2B1 S1S2) et tu divises par le nombre total de quadruplets ordonnés (c'est facile a compter)
- Soit tu dénombres l'événement inverse, c'est a dire les 2 mains sont toujours différentes. C'est une astuce classique et ça marche souvent mieux dans ce sens

J'espère que je suis assez clair, si t'as d'autres question hésite pas