Comment on résoud cette intégrale, j'ai un raisonnement mais il est faux je pense :
On a y = arccos(x) <=> x = cos(y)
D'où
arccos( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) ) = y <=> cos(x) / ( 1+2cos(x) ) = cos (y)
Donc :
arcsin ( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) = arcsin (cos (y) ) = arcsin ( sin (y + pi/2 ) ) = y + pi / 2
On sait que
Pour tout x réel
arccos (x) + arcsin (x) = pi / 2
Donc arccos( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) ) + arcsin ( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) = pi /2
i.e.
y + y + pi/2 = pi/2 <=> 2y = 0
Donc y = 0
Ainsi arccos( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) ) = 0
Donc l'intégrale est égal à 0
C'est bon les khey ?
Mais je doute à mort, car mon résultat est absurde. J'ai faux
Je ne sais pas comment calculer l'integrale analytiquement. Ca fait 2 et des poussieres numeriquement.
Mais ton raisonnement est en effet absurde. Oublie l'integrale un moment. Je reprends ton raisonnement en utilisant z au lieu de l'expression avec cos(x) pour simplifier les expressions, ca ne change rien:
acos(z)=y <=> z=cos (y)
Donc: asin(z) = asin(cos(y)) = asin(sin(y + pi/2)) = y + pi/2
acos(z) + arcsin(z) = pi /2
Donc: y + y + pi/2 = pi/2 <=> y = 0
Et: acos(z)=0
i.e., tu viens de demontrer que la fonction acos est la fonction nulle...
Quand tu manies acos et asin, fais bien attention aux domaines de definition. En particulier
acos(cos(x))=x est valable ssi x est compris entre -pi/2 et pi/2
asin(sin(x))=x est valable ssi x est compris entre 0 et pi