Soient arccos : [-1;1] --> [0;π] et t ∈ [-1,1]
Montrons que : arccos(2 * t^2 -1) = 2 * arccos( |t| )
Montrons tout d'abord que arccos(2 * t^2 -1) est bien définie sur [-1,1]
Soit t ∈ [-1,1], on a :
-1 ≤ t ≤ 1 => 0 ≤ t^2 ≤ 1 => 0 ≤ 2 * t^2 ≤ 2 => -1 ≤ 2 * t^2 -1 ≤ 1
On en déduit que 2 * t^2 -1 ∈ [-1,1]
On en déduit que arccos( 2 * t^2 -1 ) est bien définie sur [-1,1]
t-> 2 * t^2 -1 est à valeur dans [-1,1] et arccos est continue et dérivable sur [-1,1]. On en déduit par composée que arcos(2 * t^2 -1) est continue et dérivable sur [-1,1]
Soit g(t) = arccos(2 * t^2 -1) - 2 * arccos (t). g est continue et dérivable sur [-1,1] comme somme de fonctions continues et dérivables sur [-1,1]
On en déduit donc que :
g'(t) = ( -4t / ( sqrt( 1 - (2 * t^2 -1)^2 ) ) ) - (-2 / ( sqrt(1 - t^2) ) )
g'(t) = ( -4t / ( sqrt( 1 - (4*t^4 - 4*t^2 + 1 ) ) ) ) + ( 2 / ( sqrt(1 - t^2) ) )
g'(t) = ( -4t / ( sqrt( 4*t^2 - 4*t^4 ) ) ) + ( 2 / ( sqrt(1 - t^2) ) )
g'(t) = ( -4t / ( |2t| * sqrt( 1 - t^2 ) ) ) + ( 2 / ( sqrt(1 - t^2) ) )
g'(t) = ( 2 / ( sqrt(1 - t^2) ) ) * ( 1 + (-2t / |2t|) )
Si t ≥ 0 alors |2t| = 2t
On a donc 1 + (-2t / |2t|) = 1 + (-2t /2t) = 1 - 1 = 0
Donc g'(t) = 0
Donc g(t) est constant sur [0;1]
On a g(1) = arccos(1) - arccos(1) = 0 Comme g est constant :
∀ t ∈ [0,1], g(t) = 0 donc arccos(2 * t^2 -1) - 2 * arccos (t) = 0
On en déduit que : ∀ t ∈ [0,1], arccos(2 * t^2 -1) = 2 * arccos (t)
Si t ≤ 0 alors |2t| = -2t
On a donc 1 + (-2t / |2t|) = 1 + (-2t /-2t) = 1 + 1 = 2
donc :
g'(t) = 4 / ( sqrt(1 - t^2) )
Si on intègre soit C ∈ ℝ
g(t) = -4 * arccos(t) + C
Donc :
arccos(2 * t^2 -1) - 2 * arccos (t) = -4 * arccos(t) + C
C'est-à-dire :
arccos(2 * t^2 -1) = - 2 * arccos (t) + C
On veut connaître C on a pour t = -1 :
arccos(2 * (-1)^2 -1) = - 2 * arccos (-1) + C
i.e.
arccos(1) = - 2 * arccos (-1) + C
i.e.
C = arccos(1) + 2 * arccos (-1) = 0 + 2π
i.e.
C = 2π
On a donc :
arccos(2 * t^2 -1) = - 2 * arccos (t) + 2π = 2* ( π - arccos (t) )
Comme ∀ t ∈ [-1,1], arccos(t) + arccos(-t) = π
On a :
π - arccos (t) = arccos(-t)
On en déduit que :
∀ t ∈ [-1,0], arccos(2 * t^2 -1) = 2 * arccos(-t)
En conclusion :
∀ t ∈ [-1,1], arccos(2 * t^2 -1) = 2 * arccos( |t| )
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