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Bonjour

Sur un réseau carré N*N quelle est la probabilité P pour que deux particules partant de deux côtés opposés se rencontrent au bout d'un nombre fini t d'itérations aléatoires ? En fonction de N ? (Sachant que N peut être très grand genre 10^10)
Est-ce que dans ce cas on peut appliquer la loi du zéro et du un de Kolmogorov ? : P_t(N) = 1 avec t nombre entier naturel non infini mais cependant important.
Ou bien les deux particules pourraient errer éternellement sans jamais se retrouver au même point au même moment ?
Bien sûr il est clair que P = 1 pour N = 1, 2, 3

Merci

Je manque d'intuition sur ces problemes la.

Je pense que sans avoir une relation entre t et N, c'est difficile a dire.

A grand t, la position de depart n'est pas importante: tu approche la distribution de la chaine de markov sous jacente.

La proba de la particule 1 en position x,y est en gros de 1/N^2. Tu peux faire le calcul proprement mais c'est proche de ca pour grand N.

Donc en gros, la proba de se rencontrer est de 1/N^4 a chaque iteration. Donc la proba de se rencontrer au moins une fois est l'oppose de la proba de ne jamais se rencontrer. Donc 1-(1-1/N^4)^t

pour N=10, la proba ne depasse .9 que pour t>20000
pour N=100, la proba ne depasse .9 que pour t>20000000

les particules sont obligées de se déplacer d'une unité à chaque itération ?

Le 30 août 2023 à 09:03:08 :
les particules sont obligées de se déplacer d'une unité à chaque itération ?

Oui

J'ai l'intuition (peut-être fausse) que P = 0 si le réseau est infini

Le 30 août 2023 à 22:39:50 :

Le 30 août 2023 à 09:03:08 :
les particules sont obligées de se déplacer d'une unité à chaque itération ?

Oui

dans ce cas, si le nombre de segments initial entre les 2 particules est impair, elles ne seront jamais au même endroit au même moment (si on ne compte pas les croisements pendant le déplacement)