Savoir & Culture

Bonjour, actuellement en terminale S j'ai un problème avec la dernière question du DM.

On suppose à nouveau dans cette question que U0=a et a=1/8 et Un+1=Un(2-Un)

1/ on considère la suite numérique(Vn) définie sur N par: Vn= 1-Un

A/ exprimer pour tout entier n, Vn+1 de Vn
B/ en déduire l'expression de Vn en fonction de n.

La A/ j'ai réussi mais la B/ je trouve pas.
Merci d'avance pour votre aide!

Dsl double post

A/ exprimer pour tout entier n, Vn+1 en fonction de Vn.*

Merci!

Vn+1 = 1 - Un+1 = 1 - 2Un +Un² = (1-Un)² = Vn²

V0=1-U0 = 7/8
V1= 49/64
V2 = ((7/8)²)² = (7/8)^4
V3 = (7/8)^8
...
Vn=(7/8)^(2^n)
faut le justifier par recurrence parce que les "..." n'est pas une preuve !

cas n=0 : V0=7/8 = (7/8)^(2^0) OK

soit n entier naturel
vrai au rang n justifions au rand n+1

Vn+1 = Vn² donc par hypothese de rec :
Vn+1 = ((7/8)^(2^n))^2=(7/8)^(2^(n+1))
donc vrai au rang n+1
donc vrai a tous les rangs
donc quelque soit n dans N
on a : Vn=(7/8)^(2^n)

verifie que je ne fais pas d'erreurs tout de meme

Je vien de verifier avec la TI-89 tout cas il y a beaucoup de puissance

Encore une fois merci!
Pour la recurrence je l'ai démontré et l'hérédité c'est fait aussi

bah ce que je t'ai ecris apres c'est la recurrence elle meme et entiere ^^

alors pour trouver ce genre de reponse tout d'abord il faut ecrire les premiers termes d'une facon tres simplifié ! car si tu ecris la fraction entiere tu t'en sortira pas ^^
mais en ecrivant 7/8 -> (7/8)² -> (7/8)^4(=2² pr la puissance) -> (7/8)^8(=2^3 pour la puissance) etc... tu remarques tout de suite comment ca marche
puis reste a faire la recurrence pour le prouver avec rigueur

Merci pour la méthode.