Savoir & Culture

Pourquoi si f = sin, g = cos(a)sin+sin(a)cos et h = −sin(b)sin+cos(b)cos,donc f,g,h appartiennent tous trois à vect(sin,cos), sev de F(R,R) engendré par deux vecteurs donc la famille (f,g,h) est liée

Je comprends pas le donc.
Merci !

Ben tu peux former h à partir de f et g donc la famille est liée.

Une famille de 3 vecteurs f,g,h est libre si le sev engendré est de dimension 3.
Si le sev engendré est de dimension 0,1 ou 2 la famille est liée et (à peu de choses près) on peut exprimer par exemple h en fonction de f et g.

Ici f, g, et h peuvent être écrits en fonction de 2 vecteurs (cos et sin) donc le sev engendré par f,g et h est au plus de dimension 2 ! Donc c'est une famille liée.

Le 10 février 2016 à 17:00:18 Higgs a écrit :
Ben tu peux former h à partir de f et g donc la famille est liée.

Ouais ok mais est-ce que tous les éléments de vect(a,b,c) (par exemple hein) sont combinaisons linéaires les uns des autres ?

En gros, est ce que si a est CL de b et c et que d est aussi CL de b et c alors a est CL de d et d CL de a ?

Le 10 février 2016 à 17:01:21 Jai4problemes a écrit :
Une famille de 3 vecteurs f,g,h est libre si le sev engendré est de dimension 3.
Si le sev engendré est de dimension 0,1 ou 2 la famille est liée et (à peu de choses près) on peut exprimer par exemple h en fonction de f et g.

Ici f, g, et h peuvent être écrits en fonction de 2 vecteurs (cos et sin) donc le sev engendré par f,g et h est au plus de dimension 2 ! Donc c'est une famille liée.

On a pas encore vu ce qu'était une dimension.
Mais merci.

Le 10 février 2016 à 17:10:29 HalFonce a écrit :

Le 10 février 2016 à 17:01:21 Jai4problemes a écrit :
Une famille de 3 vecteurs f,g,h est libre si le sev engendré est de dimension 3.
Si le sev engendré est de dimension 0,1 ou 2 la famille est liée et (à peu de choses près) on peut exprimer par exemple h en fonction de f et g.

Ici f, g, et h peuvent être écrits en fonction de 2 vecteurs (cos et sin) donc le sev engendré par f,g et h est au plus de dimension 2 ! Donc c'est une famille liée.

On a pas encore vu ce qu'était une dimension.
Mais merci.

Tu prends ton espace vectoriel E.
Tu prends une famille libre (aucun vecteur n'est combinaison linéaire des autres, donc aucun est inutile, ils apportent chacun une information supplémentaire) qui est aussi génératrice (tout ton espace E peut être formé à l'aide de combinaisons linéaires de cette famille).
Être libre et génératrice dans E, c'est être ce que l'on appelle une base.
En gros, c'est comme le (i;j) du repère orthonormé du plan: tu as besoin d'au moins deux coordonnées pour te repérer (le au moins vient de la liberté, car comme je l'ai dit chaque vecteur apporte une information qui n'est pas apporté par l'autre), et seuls deux vecteurs suffisent (le côté génératrice permet de dire que tout peut être reconstitué à partir de ça).

Donc tu as une base (famille libre et génératrice). Une base a un cardinal (un nombre d'élément, par exemple pour (i;j) c'est 2, y' a i et y'a j). Et bien la dimension de ton espace vectoriel, c'est le cardinal d'une de ses bases (on peut montrer que peu importe la base, t'as toujours le même nombre d'éléments).

Ah ok merci beaucoup pour ces éclaircissements.

Le 10 février 2016 à 17:09:47 HalFonce a écrit :
En gros, est ce que si a est CL de b et c et que d est aussi CL de b et c alors a est CL de d et d CL de a ?

Et du coup ça ?

Non, par exemple a=b et d=c