Savoir & Culture

Une erreur se cache dans les lignes qui suivent. Saurez vous la trouver ?

• Lemme 1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a: $$ \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = 0. $$

• Lemma 2.Pout tout $x\in(0,1)$ on a : $$ \frac{1}{1-x}=\sum_{n\geq 0}x^n,\qquad \frac{\log x}{(1-x)^2}=\sum_{n\geq 0}(n+1) x^n\log(x). $$

Par les deux lemmes on a:

$$\begin{eqnarray*}(\text{Lemme 1})\quad\;\;\color{red}{0}&=&\int_0^1 \sum_{n\geq0} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx\\[0.2cm](\text{Lemme 2})\qquad&=&\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x} + \frac{\log x}{(1-x)^2}\right)\,dx\\[0.2cm](x\mapsto 1-x)\qquad&=&\int_0^1 \left(\frac{1}{x}+\frac{\log(1-x)}{x^2}\right)\,dx\\[0.2cm](\text{développement en série entière de }x+\log(1-x))\qquad&=&-\int_0^1 \frac{1}{x^2} \sum_{k\geq2}\frac{x^k}k \,dx\\[0.2cm](\text{intégration terme-à-terme})\qquad&=&-\sum_{k\geq 2} \frac{1}{k(k-1)}\\[0.2cm](\text{télescopage})\qquad&=&-\sum_{m\geq 1} \left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)=\color{red}{-1}.
\end{eqnarray*}$$

C'est coupé, on voit pas les équations en entiers

Je n'ai pas ce problème, mais voici un screen

"Lemma 2" "Lemme 2"

Trop simple t'en as d'autre ?

Le 24 août 2016 à 17:24:22 Spf1 a écrit :
Je n'ai pas ce problème, mais voici un screen

Merci.
Bon apparemment j'ai pas le niveau. Mais c'est normal d'intégrer une somme infini terme à terme ?

log c'est décimal ou népérien? (y'a parfois abus donc bon...)
(même si je suis pas sûr que ça change qqch en vrai vu que c'est à un facteur près)

Le 24 août 2016 à 17:24:44 Benbe98 a écrit :
"Lemma 2" "Lemme 2"

Trop simple t'en as d'autre ?

Le 24 août 2016 à 17:33:55 MecaQ a écrit :
log c'est décimal ou népérien? (y'a parfois abus donc bon...)
(même si je suis pas sûr que ça change qqch en vrai vu que c'est à un facteur près)

log népérien si ça peut t'aider

J'ai essayé de comprendre pourquoi tu intervertissais la somme et l'intégrale, d'après ce que j'ai lu il faut que la série soit convergente uniformément sur [0,1], ce qui n'est pas le cas de la série géométrique. Sauf qu'après avec les bidouillages que tu fais je sais pas où regarder
Mais j'ai quand même l'impression que l'arnaque vient des manipulations avec l'infini...

L'intégration terme à terme de l'avant-dernière ligne est justifiée, ne serait-ce que parce que tous les termes sont positifs. En revanche, là où ça pue l'arnaque, c'est à la toute première ligne, où môssieur se permet de rentrer la somme sous l'intégrale en arnaquant comme un sale avec son (Lemme 1). Et vu comme les termes intégrés changent de signe sur $[0,1]$ (surtout la parenthèse avec le $\ln$), m'est avis qu'aucun théorème d'interversion ne va s'appliquer.

Tl:dr : vil tricheur.

Le 24 août 2016 à 17:53:32 Hachino a écrit :
L'intégration terme à terme de l'avant-dernière ligne est justifiée, ne serait-ce que parce que tous les termes sont positifs. En revanche, là où ça pue l'arnaque, c'est à la toute première ligne, où môssieur se permet de rentrer la somme sous l'intégrale en arnaquant comme un sale avec son (Lemme 1). Et vu comme les termes intégrés changent de signe sur $[0,1]$ (surtout la parenthèse avec le $\ln$), m'est avis qu'aucun théorème d'interversion ne va s'appliquer.

Tl:dr : vil tricheur.

$$0 = \sum_{n} 0 =\sum_n \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = \int_{0}^{1} \sum_n x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx $$

L'interversion est justifiée par, euh ...

Le 24 août 2016 à 17:59:28 Spf1 a écrit :

Le 24 août 2016 à 17:53:32 Hachino a écrit :
L'intégration terme à terme de l'avant-dernière ligne est justifiée, ne serait-ce que parce que tous les termes sont positifs. En revanche, là où ça pue l'arnaque, c'est à la toute première ligne, où môssieur se permet de rentrer la somme sous l'intégrale en arnaquant comme un sale avec son (Lemme 1). Et vu comme les termes intégrés changent de signe sur $[0,1]$ (surtout la parenthèse avec le $\ln$), m'est avis qu'aucun théorème d'interversion ne va s'appliquer.

Tl:dr : vil tricheur.

$$0 = \sum_{n} 0 =\sum_n \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = \int_{0}^{1} \sum_n x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx $$

L'interversion est justifiée par, euh ...

la chancla ?

Le 24 août 2016 à 18:01:59 skywear a écrit :

Le 24 août 2016 à 17:59:28 Spf1 a écrit :

Le 24 août 2016 à 17:53:32 Hachino a écrit :
L'intégration terme à terme de l'avant-dernière ligne est justifiée, ne serait-ce que parce que tous les termes sont positifs. En revanche, là où ça pue l'arnaque, c'est à la toute première ligne, où môssieur se permet de rentrer la somme sous l'intégrale en arnaquant comme un sale avec son (Lemme 1). Et vu comme les termes intégrés changent de signe sur $[0,1]$ (surtout la parenthèse avec le $\ln$), m'est avis qu'aucun théorème d'interversion ne va s'appliquer.

Tl:dr : vil tricheur.

$$0 = \sum_{n} 0 =\sum_n \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = \int_{0}^{1} \sum_n x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx $$

L'interversion est justifiée par, euh ...

la chancla ?

oui, le théorème de la Chancla

A part la première, toutes les autres égalités sont justes, facile d'arnaquer, non ?