Savoir & Culture

Bonjour,

Petite(s) question(s) sur les probabilités...
Soient $(X_n)$ une suite de variables aléatoires réelles à densité avec $f_n$ la densité de $X_n$, on suppose de plus que $f_n$ est continue quel que soit $n$.
Supposons que $X_n \to Y$ en loi avec $Y$ de densité $f$, continue également..
A-t-on convergence simple de $f_n$ vers $f$ ?

A priori je dirai que oui puisque l'on a convergence des fonctions de répartitions en tout point de continuité.

Que se passe-t-il si l'on se sépare de l'hypothèse de continuité de $f$ ? A-t-on dans ce cas convergence presque partout ?

Merci.

A priori je dirai que oui puisque l'on a convergence des fonctions de répartitions en tout point de continuité.

Pourquoi est-ce que la convergence simple des fdr impliquerait la convergence simple des densités ?

Que se passe-t-il si l'on se sépare de l'hypothèse de continuité de $f$ ? A-t-on dans ce cas convergence presque partout ?

La convergence ps étant plus forte que la convergence en loi, c'est pas en affaiblissant les hypothèses que tu vas obtenir la convergence ps. Ou alors j'ai mal compris ce que tu demandais.

Il est fort probable que ce moi qui ne soit pas au clair avec mes questions. J'ai surtout réalisé que j'avais de grosses incompréhensions vis à vis de la convergence en loi et des densités.

Bref reprenons :

Pourquoi est-ce que la convergence simple des fdr impliquerait la convergence simple des densités ?

A priori rien puisque comme tu me la fais remarquer la convergence en loi est plus faible que la presque sûre, qui est elle même plus faible que la convergence simple des densités...
En fait j'ai un exercice où j'ai montré que ma suite $X_n$ converge en loi vers une loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ et j'aimerais montrer ceci :

$$\lim_{n \to \infty }\int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 f(x) dx $$

Avec $f$ la densité de la noi normale.
J'essayais donc de le justifier mais je me rends compte que c'est pas du tout clair pour moi.

Peut-on directement dire : $\mathbb{P}(0\leq X_n \leq 1) \to \mathbb{P}(0\leq Y \leq 1) $ ?

L'intégrale de 0 à 1 de f_n(x)dx = F_n(1) - F_n(0) qui converge vers F(1) - F(0) par déf de la cv en loi, avec F_n la fdr de X_n et F la fdr de N(0,1). Et F(1) - F(0) = int f(x) dx entre 0 et 1.

Peut-on directement dire : $\mathbb{P}(0\leq X_n \leq 1) \to \mathbb{P}(0\leq Y \leq 1) $ ?

Oui en utilisant directement l'une des caractérisations de la cv en loi. Je sais pas si t'as vu le thm de portemanteau.

Ahem si je suis censé l'avoir vu mais franchement j'avais pas bien compris cette caractérisation là.
Ok bon en tout cas ça va mieux.

Au final la convergence en loi permet de dire quoi sur la convergence des densités ? C'est ça que je comprends pas bien.
Vu qu'on a convergence des fonctions de répartition doit bien y avoir quelque chose non ?

En toute généralité, rien je crois.
Si tu prends X_n ~ N(0,1/n), alors X_n converge en loi vers un Dirac en 0, qui n'a pas de densité.
Donc si on veut convergence des densités faut quelque chose de plus fort que la convergence en loi.

D'autre part, même en supposant que les F_n soient dérivables, donc de dérivée f_n, c'est pas parce que F_n converge simplement que f_n aussi. A moins que quelque chose m'échappe...

Par contre dans l'autre sens y'a bien un résultat (que j'avais totalement oublié...) :
https://fr.wikipedia.org/org/wiki/Lemme_de_Scheff%C3%A9

Ok merci pour les précisions.
Je ne connaissais pas le lemme mais le résultat semble plutôt "intuitif".