Savoir & Culture

On a f : R²->R²
(x,y)|-> (3x+4y,x+3y)

On me demande de trouver a et b tels que f² + af + bId = 0 ( je trouve -6 et 5 )
De trouver le reste de la div euclidienne de X^n par X²+aX+b ( OK )
De déduire f^n

je trouve pas la dernière, y'a un truc qui m'échappe mais je vois pas

Tu remplaces X par f.
Or, f² + af + b = 0.
Il reste que le reste.

Ouais j'y ai pensé mais f^n c'est fofofo...of pas f*f*f*...*f du coup ca m'étonnerait que ce soit ça

Ben si, simplement tu appliques un polynôme pour les lois (+,o) au lieu de (+,x). Note que ce remplacement formel marche parce que f est linéaire, sinon c'est grossièrement faux.

Ah bon j'ai le droit de faire ça ?
Ce serait quoi la div euclidienne sur un polynome pour la loi o ?

En fait si f est un endomorphisme de E, t'as un morphisme d'algèbre de (K[X],+,x) dans (L(E),+,o) qui à un polynôme P associe l'endomorphisme P(f).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_d'endomorphisme#D.C3.A9finition_et_premi.C3.A8res_propri.C3.A9t.C3.A9s
Cela signifie que si P et Q sont deux polynômes, alors (PQ)(f) = P(f)oQ(f).
Donc si t'as la division euclidienne P = QR + S, alors P(f) = Q(f)oR(f) + S(f).
Si tu appliques ça avec P(X) = X^n et R(X) = X^2 - 6X + 5, alors comme R(f) = 0_{L(E)}, on a f^n = S(f).

En fait si f est un endomorphisme de E, t'as un morphisme d'algèbre de (K[X],+,x) dans (L(E),+,o) qui à un polynôme P associe l'endomorphisme P(f).

C'est ça qui me bloque. Ca a pas du tout l'air d'être un résultat évident et je viens de relire mon cours, on a rien fait de la sorte. Du coup je suppose qu'il veut qu'on le prouve nan ?

Au pire tu le démontres dans ton cas particulier. Même dans le cas général c'est pas très difficile.