Savoir & Culture

Bonsoir, un exo me pose soucis :

On se donne un entier naturel non nul n :
1. Combien y a-t-il de surjections de [[1,n]] dans [[1,2]]

La solution donne :

Si n=1, il n'y a pas de surjections de 1,n dans 1,2.
Pour n>=2, il y a 2^n applications de [[1,n]] dans [[1,2]].
Ok pour l'instant mais après :
Une telle application n'est pas surjective si, et seulement si, tous les éléments de [[1,n]]ont même image. Il y a donc 2 applications non surjectives et 2^n-2 surjections.

Je ne comprends pas le passage en gras si quelqu'un peut me l'éclaircir, merci bien.

application surjective : pour tout y dans l'espace d'arrivée, il existe x dans l'espace de départ tel que f(x) =y
ici tu n'as que deux éléments dans l'ensemble d'arrivée, 1 et 2
si jamais il y a un x tel que f(x) = 1, alors on a deux possibilités :

soit tous les éléments ont pour image 1, et dans ce cas ton application f n'est pas surjective puisque 2 n'a pas d'antécédents.
soit il existe un élément x' dont l'image n'est pas 1. donc son image est 2. et dans ce cas f est surjective puisque n'importe quel élément de l'ensemble d'arrivée à au moins un antécédent.

même raisonnement avec une fonction g telle que pour un élément x, on ait g(x)=2
si tous les éléments ont pour image 2, g n'est pas surjective.
si un élément a pour image 1, g est surjective.

les deux seules fonctions non surjectives sont donc la fonction qui vaut tout le temps 1 et celle qui vaut tout le temps 2

ah j'ai tout compris, merci beaucoup.