Savoir & Culture

Salut , petit exo de proba
Soit X1.....Xn des VA normales centrées réduites iid.
Soit N une norme sur R^n.
Montrer que N(X1.....Xn) est à densité

Je crois que ça marche dès que $(X_1,\dots,X_n)$ admet une densité de support $\mathbb{R}^n$ en fait.

Je suppose que c'est à densité par rapport à la mesure de Lebesgue, donc par Radon-Nikodym, il suffit de montrer que pour tout $A$ borélien de $\mathbb{R}_+$,
$$\mathbb{P}(N(X_1,\dots,X_n)\in A) = 0 \implies \lambda(A)=0.$$
On montre la contraposée. Soit $A$ un borélien de $\mathbb{R}_+$ tel que $\lambda(A)>0$. Alors $\lambda^{\otimes n}(N^{-1}(A))>0$ (à vérifier). Donc
$$\mathbb{P}((X_1,\dots,X_n)\in N^{-1}(A))>0$$
puisque $(X_1,\dots,X_n)$ est à densité strictement positive sur $\mathbb{R}^n$. C'est-à-dire,
$$\mathbb{P}(N(X_1,\dots,X_n)\in A)>0.$$

Seulement je n'ai pas (encore) prouvé que
$$\lambda(A)>0\implies \lambda^{\otimes n}(N^{-1}(A))>0,$$
mais j'ai bon espoir que ça soit vrai.

C'est pas l'inverse au niveau des implications ? Lambda(À)=0 implique P(N(X) dans À) =0 ?
Mais sinon oui c'est la la difficulté

Si. Il est temps que les vacances arrivent.

Du coup ce qu'il faut montrer c'est que
$$\lambda(A)=0\implies\lambda^{\otimes n}(N^{-1}(A))=0.$$

C'est toi qui postais tout le temps des exos de proba il y a quelques mois et qui m'empêchais de travailler ?

Oui c'est moi, j'avais été ban tempo

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