Le 02 juin 2023 à 23:26:30 :
J'ai emprunté le Rudin + Escoffier d'analyseJ'ai un mois et demi avant la fermeture de la bu 🤤
Sujet :
Marathon des maths de JVC
Le 11 juin 2023 à 02:10:43 :
Soit f E x {0;1} -> E x {0;1} bijective. Soit s0 (x,b) -> (x,0); s1 (x,b) -> (x,1). S= {s0, s1}. Soit n dans N et A dans S^n on definit recursivement f<- A = f o A_n o f<- A|n-1, ou A|n-1 designe A restreint a ses n-1 premier terme . Montrer qu'il existe x et A tel que pour tout k<=n: f<-A|k(x,0) ait pour deuxieme composante 0.
C'est drôle de troller dans la partie Shtam le shill 
[ECS/MP*/L3] Démontrer d'au moins "trois façons" que : $\int_{0}^{1} \dfrac{\log(x)}{1-x}\mathrm{d}x = -\dfrac{\pi^2}{6}$ 
.
Une petite généralisation avec une astuce de télescopage.
On considère pour $\operatorname{Re}z>0$ la quantité intégrale suivante :
$$ I(z) = \int_0^1 \frac{1-x^{z-1}}{1-x} \,\mathrm dx$$ On remarque ensuite que :
$$ I(z+1)-I(z) = \int_0^1 x^{z-1}\,\mathrm dx = \frac{1}{z}$$ En télescopant, on en déduit
$$ I(z+n)-I(z) = \frac{1}{z} +\sum_{1 \le k < n} \frac{1}{z+k} $$ En particulier, quand $z=1$ on reconnaît la suite harmonique, et puisque $I(1) = 0$ on a
$$ I(z) = -\frac{1}{z} + \sum_{k=1}^n\bigg(\frac{1}{k}-\frac{1}{z+k}\bigg) + \frac{1}{z+n} + \int_0^1 \frac{1-x^{z-1}}{1-x} x^n\,\mathrm dx$$ Par suite, avec le théorème de convergence dominée on a
$$ I(z) = -\frac{1}{z} + \sum_{k=1}^\infty \bigg(\frac{1}{k}-\frac{1}{z+k}\bigg) $$ La série de fonctions ci-dessus converge normalement sur tout compact du demi-plan $\operatorname{Re}z>0$. La fonction $I$ y est donc analytique, de plus en dérivant terme à terme
$$ I'(z)= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^2} $$ D'autre part, par le théorème d'holomorphie sous l'intégrale (dont les hypothèses sont vérifiées, on peut borner $\frac{1-x^{z-1}}{1-x}$ sur $]0,1[$ localement uniformément en $z$ avec les accroissements finis) on a
$$ \int_0^1 \frac{\log x}{1-x} x^{z-1}\,\mathrm dx = - \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^2} $$ On peut prendre $z=1$ en particulier, et on retrouve $-\frac{\pi^2}{6}$.
Sujet :
Marathon des maths de JVC