Savoir & Culture

Salut les clés

En logique, on a

Faux => Vrai

est Vrai

Pourquoi ?

A=>B c'est defini comme etant: non(A) ou B

Peut-etre plus intuitivement, tu peux trouver un truc vrai en partant d'un truc faux.
-1=1 => 1=1 en mettant au carre de chaque cote
Tous les chiens ont des poils longs (faux) donc mon chien a des poils longs (peut-etre vrai)

Version déduction naturelle :

C'est une conséquence directe de la définition de l'implication et du principe d'explosion. On dit que A => B si en supposant A on peut prouver B, maintenant si on a prouvé non A, alors en supposant en plus que A est vraie on a une contradiction (A et non A), et le principe d'explosion énonce que d'une contradiction on peut tout déduire, en particulier on peut déduire B, d'où A => B.

J’ai rien compris

Il est bon de faire une table de vérité pour mieux comprendre.

mon prof de sup nous avait dit ça à l'époque mais je sais pas si c'est rigoureux :

supposons que le ciel est vert (ce qui est faux, car le ciel est bleu)
du coup, on peut dire que la proposition "le ciel est vert OU le père noël existe" est vraie
or, vu que le ciel est bleu, ça veut dire que le ciel n'est pas vert et donc que le père noël existe

bref, si on part de choses fausses, tout devient vrai

Le 21 septembre 2020 à 19:54:26 MecaFlu a écrit :
mon prof de sup nous avait dit ça à l'époque mais je sais pas si c'est rigoureux :

supposons que le ciel est vert (ce qui est faux, car le ciel est bleu)
du coup, on peut dire que la proposition "le ciel est vert OU le père noël existe" est vraie
or, vu que le ciel est bleu, ça veut dire que le ciel n'est pas vert et donc que le père noël existe

bref, si on part de choses fausses, tout devient vrai

Ben là tu viens de traduire que P=>Q équivaut à non P ou Q

(p->q) est la valeur de vérité de la promesse que q serait vraie si p est vraie.
si p est fausse, alors peu importe la valeur de q, la promesse est, en un sens, tenue. du coup, sa valeur de vérité est "vraie".

Le 21 septembre 2020 à 19:54:26 MecaFlu a écrit :
mon prof de sup nous avait dit ça à l'époque mais je sais pas si c'est rigoureux :

supposons que le ciel est vert (ce qui est faux, car le ciel est bleu)
du coup, on peut dire que la proposition "le ciel est vert OU le père noël existe" est vraie
or, vu que le ciel est bleu, ça veut dire que le ciel n'est pas vert et donc que le père noël existe

bref, si on part de choses fausses, tout devient vrai

Oui, ce que ton prof de sup a montré, c'est qu'à partir du principe de résolution, on peut déduire le principe d'explosion.

Principe de résolution : « Si (A ou B) est vrai, et que A est faux, alors je déduis que B est vrai. »
Principe d'explosion : « À partir d'une contradiction, je déduis A. »

Souvent en logique on fait l'inverse, on prend le principe d'explosion comme règle de base et on en déduit le principe de résolution. Mais c'est vrai que le principe de résolution est un peu plus intuitif.

En soi, le fait que le faux implique le vrai n'est pas spécialement choquant. Ce qu'on veut en maths, c'est partir d'hypothèses, et de regarder vers quoi ça nous mène. Le sens le plus gênant serait:
Vrai => Faux
(qui est bien sûr faux)
Il serait gênant puisque cela voudrait dire que même en parlant de prémisses pourtant vraies, on supposerait par des règles de base des mathématiques des trucs faux ... Or non, on veut précisément partir de choques vraies pour arriver à des choses vraies !
Inversement, partir de choses fausses pour arriver à des choses vraies, c'est pas choquant, puisque de toute façon l'hypothèse de départ est fausse ... Après bien sûr, la valeur de l'implication est discutable: "Si les cochons volent, alors 1+1=2" ... L'implication est vraie, mais elle a aucune valeur.