Savoir & Culture

Si on connait celle de X,Y ? (ici en l'occurence là ce sont 2 uniformes continues de meme parametre)

Ce qui est vraiment important ici c'est le fait que X, Y sont indépendantes.
Dans ce cas, on peut écrire :

E(f(X)g(Y))=intégrale de f(x)g(y)dP_X(x)*dP_Y(y)

Tu devrais alors être capable de conclure dans ton cas particulier.

En général, si X et Y ne sont pas indépendantes, on ne peut pas conclure.

Le 24 septembre 2020 à 23:00:06 wanadoo6 a écrit :
Ce qui est vraiment important ici c'est le fait que X, Y sont indépendantes.
Dans ce cas, on peut écrire :

E(f(X)g(Y))=intégrale de f(x)g(y)dP_X(x)*dP_Y(y)

Tu devrais alors être capable de conclure dans ton cas particulier.

En général, si X et Y ne sont pas indépendantes, on ne peut pas conclure.

d'accord merci bcp !

j'ss vrmt débile mais je vois pas en quoi ça avance à qlq chose; mtn j'ai E(f(X)g(Y))= intégrale sur (0,1)² f(x)g(y)dxdy
mais c'est censé me dire quoi sur la loi de f=XY ?

en général quand on te demande de donner la loi d'une v.a Z qui est fonction d'un vecteur aléatoire Z= g(X,Y)
, on s'attend à ce que tu explicites la loi en calculant E[h(Z)] = intégrale de h(z)dP_Z(z). Dans ton cas ,qui est a densité par rapport à Leb tu t'attends a tomber sur une intégrale de h(z)f_Z(z)dz, ce qui te donne la loi (la densité de probabilité) f_Z de Z.

Du coup t'as juste à calculer E(h(XY)) et à faire les changements de variables nécessaires pour tomber sur la forme donnée plus haut. Et c'est très simple car par indépendance c'est juste l'intégrale sur ]0,1]² de h(xy)dxdy

Le 24 septembre 2020 à 23:14:24 BenchSquatSDT a écrit :
j'ss vrmt débile mais je vois pas en quoi ça avance à qlq chose; mtn j'ai E(f(X)g(Y))= intégrale sur (0,1)² f(x)g(y)dxdy
mais c'est censé me dire quoi sur la loi de f=XY ?

Tu n'es pas débile du tout. J'ai écrit trop vite.

En général, la loi est caractérisée par les E(f(Z)) par exemple pour f continue bornée (comme quine a dit).

Lorsque X,Y sont indépendantes, on a:

E(f(X,Y))=intégrale f(x,y)dP_X(x)*dP_Y(y)

Ensuite tu spécialises. (Ce que quine a écrit).

Ça te permet ensuite de caractériser la loi.

Je ne sais pas pourquoi j'ai écrit mon message plus haut comme il est. C'est parfaitement exact et ça a un intérêt mais c'est trop compliqué pour ce que tu cherches.

PS: Pour ceux qui veulent savoir pourquoi ça a un intérêt, il faut s'intéresser aux produits tensoriels topologiques et aussi prendre en compte que les boréliens de R^d c'est pareil que le produit tensoriel d fois de B(R) mais ça dépasse très largement la question.

Je suis vraiment très fatigué.

On a bien le résultat suivant, qui doit être la raison pour laquelle j'ai écrit mon premier message, et qui est assez élémentaire normalement.

Si X,Y var alors X,Y indep ssi Et(f(X)g(Y))=E(f(X))E(g(Y))
Pour f,g continues positives à support compact.

Ça vient par exemple grâce aux fonctions caractéristiques et l'injectivité de Fourier.

Je suis à peu près sûr que le produit tensoriel des tribus intervient à un moment mais je ne sais plus où.

Bref. Overkill anyway pour toi.

en bidouillant l'intégrale tu es censé trouver u -> -log(u) * indicatrice]0,1] comme densité