Savoir & Culture

Bonjour! Je bloque sur un petit problème d'apparence simple

Je pose a = (1+iV7)/2

Comment montrer que |Re(a^n)| -> +inf?

Merci d'avance

Je ne vois pas trop à quois correspond V. Sinon je dirais binome de newton, regroupe les puissance de i qui sont paires (car c'est la partie réelle), et fais un équivalent.
Mais j'ai du mal à voir comment ce que tu veux montrer peut être vrai
La multiplication de complexes se traduit en argument comme une rotation, donc à priori ton nombre à la puissance n s'éloigne et tourne à la fois autour de zéro. Je dirais à la louche que la partie réelle sera souvent négative, et que ton nombre ne converge pas

Edit:
C'est en valeur absolue, ça me semble possible. Essaye par newton, et garde juste la puissance n (équivalent en l'infini)

l'idée à mon avis c'est que comme le module est plus grand que 1 alors il faut montrer que lorsqu'effectivement l'argument principal se rapproche des valeurs critiques ce sera suffisamment "tard" (i.e. assez tard pour que ce soit compensé par le module élevé à une puissance suffisamment grande)

expliciter une équation du 2nd degré vérifiée par u serait profitable
sinon tenter de voir si u admet une racine carrée dans [Q crochet racine de 7]^2
encore une piste, plus efficace à mon avis: raisonner par contraposition. si Re(u) ne tend pas vers +oo par négation de la définition de la limite égale à +oo on peut extraire une sous-suite bornée de la suite des puissances itérées de u

Le 25 septembre 2020 à 17:40:04 DuddyFrutti a écrit :
Je ne vois pas trop à quois correspond V. Sinon je dirais binome de newton, regroupe les puissance de i qui sont paires (car c'est la partie réelle), et fais un équivalent.
Mais j'ai du mal à voir comment ce que tu veux montrer peut être vrai
La multiplication de complexes se traduit en argument comme une rotation, donc à priori ton nombre à la puissance n s'éloigne et tourne à la fois autour de zéro. Je dirais à la louche que la partie réelle sera souvent négative, et que ton nombre ne converge pas

Pardon V = racine

Je crois que je l'ai. Écrit la formule du binome, et fais une disjonction de cas selon la parité de n. Cela changera la tete du terme réel de plus haut degré. A priori dans les deux cas la suite extraite tend vers l'infini en valeur absolue, car racine de 7 divisé par 2 est supérieur à 1. Le coef binomial devrait pouvoir s'expliciter, je crois qu'il vaut soit 1, soit n. Dans tous les cas ça tend vers l'infini. Si j'ai fais une erreur sur le coef, tu peux toujours l'exprimer avec les factorielles (peut être faire un équivalent avec la formule de stirling?). Comme les deux suites tendent vers l'infini, le terme géneral tend lui aussi vers cette limite

Le 25 septembre 2020 à 18:06:19 DuddyFrutti a écrit :
Je crois que je l'ai. Écrit la formule du binome, et fais une disjonction de cas selon la parité de n. Cela changera la tete du terme réel de plus haut degré. A priori dans les deux cas la suite extraite tend vers l'infini en valeur absolue, car racine de 7 divisé par 2 est supérieur à 1. Le coef binomial devrait pouvoir s'expliciter, je crois qu'il vaut soit 1, soit n. Dans tous les cas ça tend vers l'infini. Si j'ai fais une erreur sur le coef, tu peux toujours l'exprimer avec les factorielles (peut être faire un équivalent avec la formule de stirling?). Comme les deux suites tendent vers l'infini, le terme géneral tend lui aussi vers cette limite

Pourquoi expliques tu avec ton raisonnement que ça marche pas pour sqrt(3)+i par exemple?

Oui en effet j'ai été un peu vite, et j'ai raconté n'importe quoi sur le degré après le dvt du binome...

On ne peut pas se séparer de la somme simplement à priori, et surtout pas sommer les équivalent. Peut être que tu peux voir ça comme une série, et montrer par un argument simple que elle diverge (genre montrer que le terme général ne tend pas vers 0)

Autre idée, passe en écriture exponentielle, et écrit ton nombre à la puissance n. Ensuite prend la partie réelle, passe à la valeur abs et montre que ça tend vers 0. Ça me semble plus simple

• vers l'infini

Faut arreter de pieger les nouveaux avec ce genre de trolls

Si vous etes un eleve "normal" de prepa ou licence vous n'y arriverez pas, donc ne vous cassez pas trop la tête

Tiens, ça faisait longtemps que j'avais pas vu ce bon vieil exercice
Comme l'a dit ff, n'essayez pas de le faire, vous n'y arriverez concrètement pas.

Pour ceux qui sont vraiment intéressés :
ça utilise un théorème des enfers affreux à démontrer, donc c'est pas vraiment faisable avec des outils standards.