Savoir & Culture

Bonjour j'ai un probleme sur 2 démonstrations et j'aimerais de l'aide et savoir si j'ai bon

1) Mq aZ + bZ = <a,b>
(<=) On a, a qui est inclus dans aZ +bZ et b qui est inclus dans aZ + bZ
De plus aZ + bZ est un sous groupe de Z (facile a démontrer) et <a,b> étant le plus petit sous groupe de Z qui contient a et b alors forcement <a,b> est inclus dans aZ +bZ
(=>) On pose H un sous groupe de Z qui contient a et b
Soit x qui appartient a aZ + bZ alors x = au + bv avec u,v E Z donc x appartient a H, donc aZ +bZ est inclus dans H et donc aZ + bZ est inclus dans <a,b> (ici j'arrive pas a me convaincre de la derniere étape j'ai pas compris )

2)Mq <a,b> = pgcd(a,b)Z
(<=) Le pgcd(a;b) divise a et b donc il existe k,k' E Z, pgcd(a,b) *k = a et pgcd(a,b)*k'=b donc a et b appartiennent a pgcd(a,b)Z
Et pgcd(a,b)Z est un sous groupe de Z (facile a vérifier) et contient a et b donc forcement <a,b> est inclus dans pgcd(a,b)Z
(=>) J'ai pas d'idée

merci de votre aide

1)
On a a et b contenus dans aZ+bZ.
aZ+bZ est un sous-groupe (de Z ici), donc <a,b> est inclus dans aZ+bZ.
Un élément de aZ+bZ est de la forme au+bv, c'est donc un élément contenu dans <a,b>, donc aZ+bZ est inclus dans <a,b>.

2)
Soit d=pgcd(a,b). On a a=a'd, b=b'd avec pgcd(a',b')=1.
Ainsi, a et b appartiennent à dZ, donc aZ+bZ est inclus dans dZ.
D'après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au+bv=d, donc d appartient à <a,b>, donc dZ est inclus dans aZ+bZ.

Q.E.D.