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Cours et Devoirs

Sujet : Fonction préservant la positivité
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[Ban3]PTSI-PT
Niveau 5
20 mai 2022 à 17:24:48

Salut, ça fait longtemps que j'étais pas passé là

Soit A telle que pour tout x€R^n x^t Ax>0

Avez vous des idées des fonctions sympa de R^n dans R^n telles que x^t f(Ax)?

Par sympa j'entends «qui ne se résume pas à la multiplication par un nombre positif» :hap:
Parce qu'évidemment si on a g : R^n x R^n -> R+, g(x,Ax)*x^tAx>0

[Ban3]PTSI-PT
Niveau 5
20 mai 2022 à 17:27:07
  • telle que x^t f(Ax)>0 :hap:
csamy81
Niveau 38
29 mai 2022 à 18:41:03

pas trop compris ta question mais en prenant A n'importe quelle matrices symétriques définies positives t'as ton inégalité là

[Ban3]PTSI-PT
Niveau 5
30 mai 2022 à 14:57:37

Le 29 mai 2022 à 18:41:03 :
pas trop compris ta question mais en prenant A n'importe quelle matrices symétriques définies positives t'as ton inégalité là

J'ai pas été clair, je cherche les fonctions qui préservent en un certain sens la positivité de A, càd les fonctions f telles que x^t Ax>0 => x^t f(Ax)>0

C'est le cas si f(Ax) se résume à la multiplication de Ax par un réel positif ( f(Ax)=2Ax ou f(Ax)=||Ax||*Ax par ex) mais je cherche à savoir si il existe d'autres fonctions de ce type

the_ff3_fan
Niveau 20
30 mai 2022 à 15:47:38

Le cas simple : si A est sdp, alors toute matrice sdp marche :hap:

Si A est quelconque ca a l'air chiant :hap:

the_ff3_fan
Niveau 20
30 mai 2022 à 16:03:58

Si t'arrive a trouver une matrice symetrique M qui commute avec A, alors <M²Ax,x> = <MAx,Mx>=<AMx,Mx> > 0

Je pense qu il y a moyen de creuser dans cette direction pour le cas general mais j ai un peu la flemme :noel:

the_ff3_fan
Niveau 20
30 mai 2022 à 16:08:29

En effet tu peux creuser dans cette direction, la solution est totalement evidente et je suis totalement debile :hap:

Si M quelconque commute avec A, alors tMM marche :hap:

[Ban3]PTSI-PT
Niveau 5
30 mai 2022 à 17:32:15

Le 30 mai 2022 à 16:08:29 :
En effet tu peux creuser dans cette direction, la solution est totalement evidente et je suis totalement debile :hap:

Si M quelconque commute avec A, alors tMM marche :hap:

Bien vu, mais pour mon besoin applicatif le cas des applications linéaires m'intéresse assez peu :(
Je m'intéresse plutôt au cas de fonctions faisant intervenir d'une façon ou d'une autre des fonctions composantes par composantes, typiquement si f=tanh conservait la positivité j'aurais trouvé ça aurait été super :hap:

the_ff3_fan
Niveau 20
30 mai 2022 à 18:15:00

Explique ton probleme ca ira plus vite :hap:

[Ban3]PTSI-PT
Niveau 5
30 mai 2022 à 20:17:23

Le 30 mai 2022 à 18:15:00 :
Explique ton probleme ca ira plus vite :hap:

J'ai besoin d'une couche de neurones dont A serait la matrice de poids apprenable et f une fonction d'activation (non-linéaire, donc) préservant la positivité en ce sens. Il n'y a pas grand chose d'autre à expliquer si ce n'est que f doit être facile à évaluer et que j'aimerais idéalement que f soit dérivable partout, à part ça n'importe quelle fonction non-linéaire préservant la positivité peut à priori faire l'affaire et donc n'importe quelle idée est bonne à essayer

the_ff3_fan
Niveau 20
31 mai 2022 à 17:03:55

Le 30 mai 2022 à 20:17:23 :

Le 30 mai 2022 à 18:15:00 :
Explique ton probleme ca ira plus vite :hap:

J'ai besoin d'une couche de neurones dont A serait la matrice de poids apprenable et f une fonction d'activation (non-linéaire, donc) préservant la positivité en ce sens. Il n'y a pas grand chose d'autre à expliquer si ce n'est que f doit être facile à évaluer et que j'aimerais idéalement que f soit dérivable partout, à part ça n'importe quelle fonction non-linéaire préservant la positivité peut à priori faire l'affaire et donc n'importe quelle idée est bonne à essayer

ah :hap:

Euh bah, au minimum ta fonction doit préserver le signe, après j'ai aps trop d'idée :hap:

ifsbdlv
Niveau 17
02 juin 2022 à 11:36:17

Au hasard tanh ?

[Ban3]PTSI-PT
Niveau 5
03 juin 2022 à 02:54:00

Une fonction qui préserve le signe permet d'avoir x^t f(x)>0 mais pas x^tAx>0 => x^t f(Ax)>0

Contre exemple avec tanh : https://www.wolframalpha.com/input?i=%281%2C-0.1%29.tanh%28%28%281%2C30%29%2C%28-30%2C1%29%29.%281%2C-0.1%29%29

the_ff3_fan
Niveau 20
03 juin 2022 à 13:24:23

Le 03 juin 2022 à 02:54:00 :
Une fonction qui préserve le signe permet d'avoir x^t f(x)>0 mais pas x^tAx>0 => x^t f(Ax)>0

Contre exemple avec tanh : https://www.wolframalpha.com/input?i=%281%2C-0.1%29.tanh%28%28%281%2C30%29%2C%28-30%2C1%29%29.%281%2C-0.1%29%29

Oui c'est pour ça que j'ai dit "au minimum", c'est une condition nécessaire mais pas suffisante :noel:

Après ça je vois pas comment avancer

[Ban3]PTSI-PT
Niveau 5
03 juin 2022 à 19:23:40

Je disais ça surtout pour isdblv

À la question «existe t-il de tels fonctions qui ne se résument pas à la multiplication par une constante positive et MtM où M commute avec A», la réponse est oui au moins pour certaines matrices A

Par exemple, A=((1,1);(0,1)) et f(x)=x^3 (cube composante par composante)

En effet, si x=(a,a*b), x^t f(Ax)=x^t f((a*(b+1); a*b))
=a^4(b+1)^3+a^4*b^4=a^4(b^4+(b+1)^3)>0 pour tout a et b

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Sujet : Fonction préservant la positivité
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