Salut, ça fait longtemps que j'étais pas passé là
Soit A telle que pour tout x€R^n x^t Ax>0
Avez vous des idées des fonctions sympa de R^n dans R^n telles que x^t f(Ax)?
Par sympa j'entends «qui ne se résume pas à la multiplication par un nombre positif»
Parce qu'évidemment si on a g : R^n x R^n -> R+, g(x,Ax)*x^tAx>0
pas trop compris ta question mais en prenant A n'importe quelle matrices symétriques définies positives t'as ton inégalité là
Le 29 mai 2022 à 18:41:03 :
pas trop compris ta question mais en prenant A n'importe quelle matrices symétriques définies positives t'as ton inégalité là
J'ai pas été clair, je cherche les fonctions qui préservent en un certain sens la positivité de A, càd les fonctions f telles que x^t Ax>0 => x^t f(Ax)>0
C'est le cas si f(Ax) se résume à la multiplication de Ax par un réel positif ( f(Ax)=2Ax ou f(Ax)=||Ax||*Ax par ex) mais je cherche à savoir si il existe d'autres fonctions de ce type
Le cas simple : si A est sdp, alors toute matrice sdp marche
Si A est quelconque ca a l'air chiant
Si t'arrive a trouver une matrice symetrique M qui commute avec A, alors <M²Ax,x> = <MAx,Mx>=<AMx,Mx> > 0
Je pense qu il y a moyen de creuser dans cette direction pour le cas general mais j ai un peu la flemme
En effet tu peux creuser dans cette direction, la solution est totalement evidente et je suis totalement debile
Si M quelconque commute avec A, alors tMM marche
Le 30 mai 2022 à 16:08:29 :
En effet tu peux creuser dans cette direction, la solution est totalement evidente et je suis totalement debileSi M quelconque commute avec A, alors tMM marche
Bien vu, mais pour mon besoin applicatif le cas des applications linéaires m'intéresse assez peu
Je m'intéresse plutôt au cas de fonctions faisant intervenir d'une façon ou d'une autre des fonctions composantes par composantes, typiquement si f=tanh conservait la positivité j'aurais trouvé ça aurait été super
Explique ton probleme ca ira plus vite
Le 30 mai 2022 à 18:15:00 :
Explique ton probleme ca ira plus vite
J'ai besoin d'une couche de neurones dont A serait la matrice de poids apprenable et f une fonction d'activation (non-linéaire, donc) préservant la positivité en ce sens. Il n'y a pas grand chose d'autre à expliquer si ce n'est que f doit être facile à évaluer et que j'aimerais idéalement que f soit dérivable partout, à part ça n'importe quelle fonction non-linéaire préservant la positivité peut à priori faire l'affaire et donc n'importe quelle idée est bonne à essayer
Le 30 mai 2022 à 20:17:23 :
Le 30 mai 2022 à 18:15:00 :
Explique ton probleme ca ira plus viteJ'ai besoin d'une couche de neurones dont A serait la matrice de poids apprenable et f une fonction d'activation (non-linéaire, donc) préservant la positivité en ce sens. Il n'y a pas grand chose d'autre à expliquer si ce n'est que f doit être facile à évaluer et que j'aimerais idéalement que f soit dérivable partout, à part ça n'importe quelle fonction non-linéaire préservant la positivité peut à priori faire l'affaire et donc n'importe quelle idée est bonne à essayer
ah
Euh bah, au minimum ta fonction doit préserver le signe, après j'ai aps trop d'idée
Au hasard tanh ?
Une fonction qui préserve le signe permet d'avoir x^t f(x)>0 mais pas x^tAx>0 => x^t f(Ax)>0
Contre exemple avec tanh : https://www.wolframalpha.com/input?i=%281%2C-0.1%29.tanh%28%28%281%2C30%29%2C%28-30%2C1%29%29.%281%2C-0.1%29%29
Le 03 juin 2022 à 02:54:00 :
Une fonction qui préserve le signe permet d'avoir x^t f(x)>0 mais pas x^tAx>0 => x^t f(Ax)>0Contre exemple avec tanh : https://www.wolframalpha.com/input?i=%281%2C-0.1%29.tanh%28%28%281%2C30%29%2C%28-30%2C1%29%29.%281%2C-0.1%29%29
Oui c'est pour ça que j'ai dit "au minimum", c'est une condition nécessaire mais pas suffisante
Après ça je vois pas comment avancer
Je disais ça surtout pour isdblv
À la question «existe t-il de tels fonctions qui ne se résument pas à la multiplication par une constante positive et MtM où M commute avec A», la réponse est oui au moins pour certaines matrices A
Par exemple, A=((1,1);(0,1)) et f(x)=x^3 (cube composante par composante)
En effet, si x=(a,a*b), x^t f(Ax)=x^t f((a*(b+1); a*b))
=a^4(b+1)^3+a^4*b^4=a^4(b^4+(b+1)^3)>0 pour tout a et b