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Sujet : [Algèbre] vecteurs et produit scalaire.
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ofigjsdpof
15 septembre 2022 à 00:25:15

Bonsoir !

Depuis quelques jours j'essaie sans succès de prouver un certain énoncé que je trouve plutôt intuitif. Mais soit c'est beaucoup plus dur à prouver que je ne l'imaginais, soit mon intuition est pourrie et cet énoncé est tout simplement faux. :hap:
En tous les cas, j'aimerais bien un peu d'aide de votre part, s'il vous plaît.

J'ai trouvé plusieurs formulations équivalentes pour mon problème, je vous en donne 3.

1) (formulation algébrique)
Existe-t-il deux entiers naturels m et n et une matrice M à n lignes et m colonnes telle que :
-Pour tout vecteur y=/=0, le produit y^t M possède au moins deux coordonnées strictement positives.
-Pour tout i entre 1 et m-1, il existe un vecteur y tel que y^t M possède exactement deux coordonnées strictement positives : la i-ème coordonnée et la dernière coordonnée (donc la m-ème).
?

2) (formulation géométrique)
Tout hyperplan H sépare l'espace en deux demi-espaces ouverts, que je nommerai H+ et H-.
Existe-t-il deux entiers naturels m et n et un ensemble de vecteurs B={b_1 ... b_m} inclus dans R^n tel que :
-Pour tout hyperplan H, au moins l'un des b_i pointe en direction de H+ et au moins un autre pointe en direction de H-.
-B est minimal pour cette première propriété. (Ce qui se reformule en "Pour tout b_i, il existe un hyperplan H tel que b_i est le SEUL élément de B qui pointe en direction de H+").
-Il existe un vecteur v tel que pour tout hyperplan H, au moins DEUX des éléments de B u {v} pointent en direction de H+ et au moins deux pointent en direction de H-.
?

3) (seconde formulation algébrique)
Je vais faire un abus de langage et confondre une matrice avec l'ensemble de ses colonnes : pour une matrice M=[c_1...c_m], je désignerai par M\{c_i} la matrice qu'on obtient en retirant la i-ème colonne de M. De même, je désignerai par M u {v} la matrice qu'on obtient en ajoutant le vecteur v comme nouvelle colonne.
Existe-t-il deux entiers naturels m et n et une matrice M à n lignes et m colonnes telle que :
-L'équation MX=0 possède une solution X>0 (ie chaque coordonnée de X est strictement positive).
-Pour tout i, l'équation M\{c_i} X=0 n'a pas de solution X>0.
-Il existe un vecteur v tel que pour tout i, l'équation M\{c_i} u {v} X=0 possède une solution X > 0.
?

Personnellement je pense (sans preuve) que la réponse au problème et donc à ces trois questions est non et c'est surtout à cause de la formulation géométrique.
Je me dis que si je considère deux éléments b_i et b_j très éloignés l'un de l'autre (en termes d'angle), eh bien le vecteur v va devoir pointer dans un même demi espace que b_i mais aussi dans un même demi espace que b_j ce qui limite énormément le nombre de possibilités pour placer le vecteur v... et pourtant à ce stade je n'ai considéré que deux vecteurs de l'ensemble B, donc si je commence à considérer d'autres vecteurs écartés les uns des autres ça va d'autant plus restreindre les possibilités pour placer v.
Bien sûr ce n'est qu'une intuition...et il est tout à fait possible que j'ai tort.

Bref, qu'en pensez-vous ?

ofigjsdpof
15 septembre 2022 à 00:27:57

J'ai posté un peu vite, mon titre n'est pas trop cohérent avec le contenu de mon post :hap:
Evidemment si je parle de produits scalaires dans le titre c'est parce qu'en ce qui concerne les deux premières formulations :
-Formulation 1 : y^tM c'est tout simplement le produit scalaire de y avec les colonnes de M.
-Formulation 2 : "pointer dans H+" ça revient à dire "avoir un produit scalaire positif avec le vecteur normal à H"

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Sujet : [Algèbre] vecteurs et produit scalaire.
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