Savoir & Culture

Bonjour,

J'ai une petite question avec la fonction puissance f(z)=|z|². En utilisant les conditions de Cauchy Rieman, ça donne df/dz*=z (où z* est le conjugé de z). df/dz*=0 seulement si z=0. Comment c'est possible d'être dérivable seulement en 0 mais en aucun point autour ?

Dérivable au sens complexe, mais même pour des fonctions de la variable réelle c'est possible d'être dérivable seulement en un point.

Prends g une fonction de R dans R nulle part continue (par exemple la fonction indicatrice des rationnels) et pose f(x)=x² g(x). Alors f est dérivable en zéro mais nulle part ailleurs (car f est discontinue en tout point x=/=0)

Mais ça a aucun sens ?
Comment on peut avoir une pente sur un seul point ?

Ben si ça a un sens

Si je reprends mon exemple avec g indicatrice des rationnels, au voisinage de 0 on a f(h) = o(h) car g est bornée au voisinage de zéro, donc le terme h² écrase la courbe.

On a quelque chose qui ressemble à du h² en 0 mais qui est totalement discontinu en dehors de 0.

T'as oublié de préciser des hypothèses sur g DonDoritos je pense

Par exemple si elle est bornée ça marche

Le 28 octobre 2022 à 15:06:23 :
Ben si ça a un sens

Si je reprends mon exemple avec g indicatrice des rationnels, au voisinage de 0 on a f(h) = o(h) car g est bornée au voisinage de zéro, donc le terme h² écrase la courbe.

On a quelque chose qui ressemble à du h² en 0 mais qui est totalement discontinu en dehors de 0.

mais ça veut dire quoi "ressembler à du h² en 0" sachant que dès que tu pars de 0 tu es discontinu ?

Le 29 octobre 2022 à 17:55:18 :

Le 28 octobre 2022 à 15:06:23 :
Ben si ça a un sens

Si je reprends mon exemple avec g indicatrice des rationnels, au voisinage de 0 on a f(h) = o(h) car g est bornée au voisinage de zéro, donc le terme h² écrase la courbe.

On a quelque chose qui ressemble à du h² en 0 mais qui est totalement discontinu en dehors de 0.

mais ça veut dire quoi "ressembler à du h² en 0" sachant que dès que tu pars de 0 tu es discontinu ?

Ca veut dire que c'est h² + un truc négligeable comparé à h² (donc pas nul)

Le 29 octobre 2022 à 19:54:40 :

Le 29 octobre 2022 à 17:55:18 :

Le 28 octobre 2022 à 15:06:23 :
Ben si ça a un sens

Si je reprends mon exemple avec g indicatrice des rationnels, au voisinage de 0 on a f(h) = o(h) car g est bornée au voisinage de zéro, donc le terme h² écrase la courbe.

On a quelque chose qui ressemble à du h² en 0 mais qui est totalement discontinu en dehors de 0.

mais ça veut dire quoi "ressembler à du h² en 0" sachant que dès que tu pars de 0 tu es discontinu ?

Ca veut dire que c'est h² + un truc négligeable comparé à h² (donc pas nul)

mathématiquement je comprends, mais graphiquement je reviens sur l'argument de la pente que j'ai aussi du mal à visualiser

Le 29 octobre 2022 à 17:22:03 :
T'as oublié de préciser des hypothèses sur g DonDoritos je pense

Par exemple si elle est bornée ça marche

Oui bornée au voisinage de zéro J'avais en tête l'indicatrice des rationnels, j'ai précisé après que f était dérivable en 0 car g était bornée autour de 0.

Le 29 octobre 2022 à 20:25:35 :

Le 29 octobre 2022 à 19:54:40 :

Le 29 octobre 2022 à 17:55:18 :

Le 28 octobre 2022 à 15:06:23 :
Ben si ça a un sens

Si je reprends mon exemple avec g indicatrice des rationnels, au voisinage de 0 on a f(h) = o(h) car g est bornée au voisinage de zéro, donc le terme h² écrase la courbe.

On a quelque chose qui ressemble à du h² en 0 mais qui est totalement discontinu en dehors de 0.

mais ça veut dire quoi "ressembler à du h² en 0" sachant que dès que tu pars de 0 tu es discontinu ?

Ca veut dire que c'est h² + un truc négligeable comparé à h² (donc pas nul)

mathématiquement je comprends, mais graphiquement je reviens sur l'argument de la pente que j'ai aussi du mal à visualiser

Bah la fonction vaut h² si h est rationnel et 0 sinon. On a une courbe coincée entre la parabole y=h² et sa tangente en 0. Donc en 0 on a une tangente d'équation y=0. La fonction f ressemble à h² car c'est un O(h²), bien que f ne soit pas continue.

Le 29 octobre 2022 à 20:25:35 :

Le 29 octobre 2022 à 19:54:40 :

Le 29 octobre 2022 à 17:55:18 :

Le 28 octobre 2022 à 15:06:23 :
Ben si ça a un sens

Si je reprends mon exemple avec g indicatrice des rationnels, au voisinage de 0 on a f(h) = o(h) car g est bornée au voisinage de zéro, donc le terme h² écrase la courbe.

On a quelque chose qui ressemble à du h² en 0 mais qui est totalement discontinu en dehors de 0.

mais ça veut dire quoi "ressembler à du h² en 0" sachant que dès que tu pars de 0 tu es discontinu ?

Ca veut dire que c'est h² + un truc négligeable comparé à h² (donc pas nul)

mathématiquement je comprends, mais graphiquement je reviens sur l'argument de la pente que j'ai aussi du mal à visualiser

Ouais, c'est ptet plus simple comme ça : prend f(x) = x + x^100 * indicatrice des rationnels. C'est continu nulle part et pourtant on a vraiment envie de dire que ca ressemble a x proche de 0

Vous avez pas un exemple avec une fonction continue svp ?

x²*une fonction continue dérivable nulle part (https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_continue_nulle_part_dérivable) doit marcher