Savoir & Culture

(Je note en italique les propositions ou les propriétés, et en gras les objets).

Bonjour tout le monde.
Soit p une propriété, càd un prédicat du premier ordre. En d'autres termes, si x est un objet, alors p(x) est une proposition, càd une affirmation. Par exemple p(x) : « x est égal à 0 » donne p(0), mais non(p(1)).

Appelons «p-objet» tout objet x tel que p(x).
Considérons une proposition p telle que non-p ne soit pas une tautologie (en d'autres termes, il existe au moins un objet x tel que p(x)). Ma question est la suivante :

Existe-t-il des (ou un) objet(s) y tel que :
1 - y soit un p-objet. Càd qu'on a p(y).
2 - y n'ait QUE p et ses conséquences pour propriétés.

Exemple : si p(x) : «x = 0». Un p-objet minimal serait donc égal à 0, et ne serait rien d'autre. Bien sûr, cet objet répondrai également à la propriété q(x) : « x+1 = 1 », mais ceci ne constitue pas vraiment une "nouvelle propriété" puisque q est une conséquence nécessaire de p.

En l'état, la question peut se reformuler : étant donnée une propriété p telle que non-p ne soit pas une tautologie, existe-t-il un objet x tel que : « toute propriété de x est une conséquence de p, ou est p elle-même » ?

En l'état, la question peut se rapprocher du paradoxe de Berry, et se répond par la négative. En effet, supposons qu'un tel objet existe. Alors cet objet aurait la propriété p, les conséquences de p, mais aurait également une autre propriété (qui n'est ni p ni une conséquence de p) : à savoir le fait de n'avoir pour seules propriétés que p ou les conséquences de p !
En d'autres termes, le p-objet minimal aurait certes pour propriétés p et ses conséquences, mais aurait aussi pour propriété... la minimalité.

C'est donc ainsi que se formule la VRAIE question : étant donnée une propriété p telle que non-p n'est pas une tautologie, existe-t-il un objet x dont les seules propriétés soient exactement : p, les conséquences de p, ou les conséquences de la minimalité de x ?

Si la réponse à cette question est OUI, alors croyez-moi, ça a des implications gigantesques pour la philosophie analytique, la logique, et l'ontologie. Si on pouvait montrer par exemple que de tels objets existent et sont uniques; alors j'estime pouvoir prouver logiquement non seulement que l'esprit humain est immatériel, que l'âme et Dieu existent, mais en plus que Dieu est trinitaire.

Merci de m'avoir lu, et en attente de vos réponses.

Quelques pistes éventuelles pour ceux que ça intéresse :

Si p et q sont deux propriétés, on dira que p et q sont équivalentes si et seulement si pour tout x, on a p(x) ssi q(x).

On prend Prop l'ensemble des propriétés (prédicats du premier ordre, on peut montrer que sous certaines hypothèses de régularité, c'est vraiment un ensemble), et on le munit de la relation d'équivalence suivante : pour deux propriétés p et q, on écrira « p~q » si et seulement si p est équivalent à q ou à la négation de q. Par l'axiome du choix, on prend un système de représentants de classes de (~), et on l'appelle Pos.

Une propriété est dite "positive" si et seulement si elle appartient à Pos.

Si z est un objet, on définit D(z) := {p positives | p(z)}.

On peut donc utiliser le lemme de Zorn sur l'ensemble Dom(p) := {x | p(x)}, défini à condition que p soit collectivisante (càd que Dom(p) soit un ensemble). Pour cela, on définit un ordre partiel dessus ainsi : on a x <= y ssi. D(x) est inclus dans D(y).

Si certains voulaient plus de détails j'ai d'ailleurs fait un post sur le même sujet (en anglais) sur Math Exchange : https://math.stackexchange.com/questions/4871355/existence-and-uniqueness-of-minimal-p-object

Par exemple p(x) : « x est égal à 0 » donne p(0), mais non(p(1)).

Pas clair, pourquoi les opposer ? Il s'agit du corolaire selon lequel dire p revient à affirmer non-p ou d'autre chose ? Cette première affirmation selon laquelle p(0) n'est pas p(1) n'est pas très intelligible, puisqu'on ne peut pas encore dire à ce point si p(1) est l'inverse ou autre chose vis-à-vis de p(0). Donc soit indiquer plus explicitement que affirmer p(0) = affirmer non p(0), soit indiquer ce que contient (p(1)) de manière explicite et de faire comprendre en quoi (p(1)) est un objet dérivé de p(0) qui le dépasse et n'est plus p(0).

A ce niveau, x = p(x) en tout cas, tu n'as rien ajouté sinon le fait qu'on affirme x, ce que x disait déjà.

En ce premier sens, je n'apporte aucun nouveau prédicat à mon objet en l'affirmant. Je lui confère un référentiel extérieur (il existe / il n'existe pas), ce qui est un effet du jugement, non de mon concept lui-même. Un cheval n'a pas besoin d'exister pour que je me réfère à lui et que je l'affirme ou le nie.

Donc à moins que tu prenne un statut surplombant selon lequel une personne x tient le propos p dans lequel t est affirmé, cet ajout est vide, puisqu'il se contente de redire ce qu'il dit déjà.
En ce second sens : si je dis "Il y a un cheval" et "je dis qu'il y a un cheval", je n'ajoute pas d'information prédicative à mon objet, j'en ajoute une au référent de l'énoncé (c'est bien moi qui l'affirme).

Appelons «p-objet» tout objet x tel que p(x).

Donc nous voila avec un énoncé qui soit n'apporte rien à x, soit qui ne se rapporte pas à x ; du moins dans les conditions parmi lesquelles tu l'énonce.

Considérons une proposition p telle que non-p ne soit pas une tautologie (en d'autres termes, il existe au moins un objet x tel que p(x)).

Existe-t-il des (ou un) objet(s) y tel que :
1 - y soit un p-objet. Càd qu'on a p(y).
2 - y n'ait QUE p et ses conséquences pour propriétés.

Comme on vient de le voir, le problème c'est que ton p a deux corrélat : l'existence en tant que telle (il existe des x = x) ou l'énonciateur (je dis qu'il existe des x = je dis que x). Donc ta propriété... C'est l'existence de la chose (dans la parole ou dans la réalité). Or, cela revient à attribuer du crédit à l'argument ontologique avant même de le reformuler. En effet, on présuppose le fait que l'existence de x se suppose comme un prédicat réel et minimal de x. Or, cela n'est pas le cas.

En l'état, la question peut se reformuler : étant donnée une propriété p telle que non-p ne soit pas une tautologie, existe-t-il un objet x tel que : « toute propriété de x est une conséquence de p, ou est p elle-même » ?

Reformulé ainsi, on voit mieux sortir le problème : étant donné x en tant qu'il est donné comme référent à une chose vérifiable empiriquement, car sans référentiel il produirait une tautologie (l'objet serait vide) ; cet x peut il exister en vertu de son existence même ?

On se rend bien compte que cet objet x est en fait le principe même d'être. Ce qui n'est pas un prédicat à proprement parler mais une propriété extérieure au concept d'objet. Car un objet peut toujours être envisagé comme existant ou pas en dehors de son propre concept, y compris le concept d'existence. Le fait de concevoir une chose existante ne suffit pas à la faire exister et vis-versa. Je dois encore le prouver.

Aussi, ton p(x) est, il me semble, un raisonnement fallacieux.

En effet, supposons qu'un tel objet existe. Alors cet objet aurait la propriété p, les conséquences de p, mais aurait également une autre propriété (qui n'est ni p ni une conséquence de p) : à savoir le fait de n'avoir pour seules propriétés que p ou les conséquences de p !

Effectivement puisqu'une chose ne se contente pas d'exister seulement, elle existe en tant que chose. Idem pour un référent du discours, qui renvoie à plus que le discours même.

C'est donc ainsi que se formule la VRAIE question : étant donnée une propriété p telle que non-p n'est pas une tautologie, existe-t-il un objet x dont les seules propriétés soient exactement : p, les conséquences de p, ou les conséquences de la minimalité de x ?

Je pense que tu auras compris la réponse que je serais tenté de donner : il y a un vice logique dans ton raisonnement à mon avis.

Le 01 mars 2024 à 09:46:24 :

Par exemple p(x) : « x est égal à 0 » donne p(0), mais non(p(1)).

Pas clair, pourquoi les opposer ? Il s'agit du corolaire selon lequel dire p revient à affirmer non-p ou d'autre chose ? Cette première affirmation selon laquelle p(0) n'est pas p(1) n'est pas très intelligible, puisqu'on ne peut pas encore dire à ce point si p(1) est l'inverse ou autre chose vis-à-vis de p(0). Donc soit indiquer plus explicitement que affirmer p(0) = affirmer non p(0), soit indiquer ce que contient (p(1)) de manière explicite et de faire comprendre en quoi (p(1)) est un objet dérivé de p(0) qui le dépasse et n'est plus p(0).

A ce niveau, x = p(x) en tout cas, tu n'as rien ajouté sinon le fait qu'on affirme x, ce que x disait déjà.

En ce premier sens, je n'apporte aucun nouveau prédicat à mon objet en l'affirmant. Je lui confère un référentiel extérieur (il existe / il n'existe pas), ce qui est un effet du jugement, non de mon concept lui-même. Un cheval n'a pas besoin d'exister pour que je me réfère à lui et que je l'affirme ou le nie.

Donc à moins que tu prenne un statut surplombant selon lequel une personne x tient le propos p dans lequel t est affirmé, cet ajout est vide, puisqu'il se contente de redire ce qu'il dit déjà.
En ce second sens : si je dis "Il y a un cheval" et "je dis qu'il y a un cheval", je n'ajoute pas d'information prédicative à mon objet, j'en ajoute une au référent de l'énoncé (c'est bien moi qui l'affirme).

Appelons «p-objet» tout objet x tel que p(x).

Donc nous voila avec un énoncé qui soit n'apporte rien à x, soit qui ne se rapporte pas à x ; du moins dans les conditions parmi lesquelles tu l'énonce.

Considérons une proposition p telle que non-p ne soit pas une tautologie (en d'autres termes, il existe au moins un objet x tel que p(x)).

Existe-t-il des (ou un) objet(s) y tel que :
1 - y soit un p-objet. Càd qu'on a p(y).
2 - y n'ait QUE p et ses conséquences pour propriétés.

Comme on vient de le voir, le problème c'est que ton p a deux corrélat : l'existence en tant que telle (il existe des x = x) ou l'énonciateur (je dis qu'il existe des x = je dis que x). Donc ta propriété... C'est l'existence de la chose (dans la parole ou dans la réalité). Or, cela revient à attribuer du crédit à l'argument ontologique avant même de le reformuler. En effet, on présuppose le fait que l'existence de x se suppose comme un prédicat réel et minimal de x. Or, cela n'est pas le cas.

En l'état, la question peut se reformuler : étant donnée une propriété p telle que non-p ne soit pas une tautologie, existe-t-il un objet x tel que : « toute propriété de x est une conséquence de p, ou est p elle-même » ?

Reformulé ainsi, on voit mieux sortir le problème : étant donné x en tant qu'il est donné comme référent à une chose vérifiable empiriquement, car sans référentiel il produirait une tautologie (l'objet serait vide) ; cet x peut il exister en vertu de son existence même ?

On se rend bien compte que cet objet x est en fait le principe même d'être. Ce qui n'est pas un prédicat à proprement parler mais une propriété extérieure au concept d'objet. Car un objet peut toujours être envisagé comme existant ou pas en dehors de son propre concept, y compris le concept d'existence. Le fait de concevoir une chose existante ne suffit pas à la faire exister et vis-versa. Je dois encore le prouver.

Aussi, ton p(x) est, il me semble, un raisonnement fallacieux.

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Pour citer le vieux Kant :

"Etre n'est évidemment pas un prédicat réel, c'est-à-dire un concept de quelque chose qui puisse s'ajouter à un concept d'une chose. C'est simplement la position d'une chose ou de certaines détermination en soi. Dans l'usage logique il n'est que la copule d'un jugement. La proposition : Dieu est tout-puissant, contient deux concepts qui ont leurs objets: Dieu et toute puissance; le petit mot est n'est point un prédicat, mais seulement ce qui met le prédicat en relation avec le sujet. Si je prends le sujet (Dieu) avec tous ses prédicats (parmi lesquels est comprise la toute-puissance), et que je dise Dieu est, ou, il est un Dieu, je n'ajoute pas un nouveau prédicat au concept de Dieu, mais je poise seulement le sujet en lui-même avec tous ses prédicats, et en même temps l'objet qui correspond à mon concept. Tous deux doivent contenir la même chose; et, de ce que (par l'expression : il est) je conçois l'objet comme absolument donné, rien de plus ne peut s'ajouter au concept qui en exprime simplement la possibilité".

Critique de la Raison Pure, trad. J. Barni, P. Archambault, G.F. p. 478-479.

En effet, supposons qu'un tel objet existe. Alors cet objet aurait la propriété p, les conséquences de p, mais aurait également une autre propriété (qui n'est ni p ni une conséquence de p) : à savoir le fait de n'avoir pour seules propriétés que p ou les conséquences de p !

Effectivement puisqu'une chose ne se contente pas d'exister seulement, elle existe en tant que chose. Idem pour un référent du discours, qui renvoie à plus que le discours même.

C'est donc ainsi que se formule la VRAIE question : étant donnée une propriété p telle que non-p n'est pas une tautologie, existe-t-il un objet x dont les seules propriétés soient exactement : p, les conséquences de p, ou les conséquences de la minimalité de x ?

Je pense que tu auras compris la réponse que je serais tenté de donner : il y a un vice logique dans ton raisonnement à mon avis.

Je n'ai R I E N compris bordel
Qu'est-ce que tu me baragouines ? T'es sûr d'avoir compris mon post ?
Je n'ai même pas l'impression que tu connaisse la définition des termes que tu emploies. Quand tu dis "il s'agit du corollaire" par exemple : un corollaire est un résultat découlant trivialement d'un théorème, sauf que je n'ai même pas énoncé de théorème... Ensuite tu dis "p(0) n'est pas p(1)" ça ne veut rien dire puisque p(0) est une affirmation (plus précisément, c'est l'affirmation « 0 est égal à 0 »... qui est vraie), et p(1) l'affirmation « 1 est égal à 0 » qui est fausse. Donc p(0) est vraie, et p(1) est fausse. Si tu ignores ce qu'est un prédicat, je t'invite à te renseigner.

Ensuite tu dis x = p(x) : encore un non sens absolu puisque x est un entier et p(x) un booléen.
On affirme pas x puisque x est un entier : on affirme pas un entier, on affirme une proposition.

Je ne vais même pas prendre la peine de continuer...