Savoir & Culture

Bon ça me désespère là donc je vais poster l´énoncé, je n´attends évidemment pas des réponses complètes bien rédigées, mais plutôt des pistes...

Voici un scan de l´énoncé, sachant que la question 1a est faite.

http://img206.imageshack.ack.us/img206/7852/exo1cx7.jpg

J´insiste sur le fait que j´aimerais pouvoir me débrouiller à partir de pistes...

Merci d´avance.

1) b) On a vu tout à l´heure que Vn = (n+1)²/2n².
n+1 > n, donc (n+1)² > n², (n+1)²/n² > 1,...

c) Résoudre (n+1)²/2n² < 3/4.

d) Il suffit de regarder la définition de Vn.

2) a) Il faut se servir du 1)d).

b) Question précédente + définition de Sn.

c) Montrer que ce qui est entre crochets est inférieur à 4 (je pense qu´il faut utiliser le fait qu´entre crochets on a la somme des termes d´une suite géométrique mais je suis pas sûr).

3) Montrer qu´elle est croissante : ùontrer que Sn+1 - Sn > 0. Pour la convergence : elle est croissante est majorée (par 4U5).

Merci beaucoup, j´espère pouvoir m´en sortir avec ça!

Pour le petit c, en développant j´arrive à (n²+2n+1)/n² < 3/2, comment continuer?

(n²+2n+1)/n² < 3/2
n² + 2n + 1 < 3n²/2
-n²/2 + 2n + 1 < 0
Après je suppose que tu sais faire.

Reblocage à -n² + 4n < 1/2

Il ne fallait pas faire ça. Il fallait calculer les racines du trinôme et dire que le trinôme est négatif à l´extérieur des racines.

Ahhh d´accord. J´y ai pas pensé une seconde... Merci encore.

Je suis perdu là... Faut les calculer les racines quand même ou pas? PArce que ça ne tombe pas rond...

C´est normal que ça ne tombe pas rond. Mais l´entier que tu cherches va être l´entier juste au-dessus de la racine positive. Au hasard tu devrais trouver 5.

Ah je comprends! Quand je vois avec quelle facilité tu fais ça...

Euh les deux racines sont positives, faut prendre la plus grande non?

Je sais pas, mais à mon avis N = 5 (vu les questions suivantes).

Je pensais aussi que c´éatit 5 vu que j´avais trouvé 4,83, mais j´avais fait une erreur en mettant Delta = 32 au lieu de 24, et là je trouve 3 et 11...

J´ai rien dit, erreur de frappe à la calculatrice surement, c´est bon!

Pour le 2a quand on me dit en utilisant la récurrence ça veut dire avec l´axiome de récurrence (initialisation, hérédité)?

Rien à faire pour le petit 2... Y´a juste à manipuler U(n+1) < 3/4Un?

Tu fais une initialisation. Donc tu montres que ça marche pour U5 et U6 par exemple.
Ensuite tu supposes que Un =< U5(3/4)^(n-5).

Tu dois donc montrer que Un+1 =< U5(3/4)^(n-4)

Tu reprends la question précédente ensuite :

U(n+1) < (3/4)Un =< (3/4)U5(3/4)^(n-5)
U(n+1) =< U5(3/4)^(n-4)

Et c´est gagné...

C´est bizarre, j´ai le même DM.