Blabla 18-25 ans

Le 17 octobre 2024 à 13:00:10 :

Le 17 octobre 2024 à 12:57:47 :
Généralement, un axiome apparaît comme énoncé de base pur et qui résiste au doute. Un truc auquel on a fort envie de croire. Pragmatiquement, tant qu'on n'est pas dans un cadre propre, que faire de mieux ?

Et une fois qu'on postule ces premières choses, là on a un cadre propre à l'intérieur duquel on peut exiger être parfaitement formel, etc.

Au quotidien, le mathématicien ne se pose pas ces questions. Il s'agit là de questions pour fonder la théorie. Les quatre tâches suivantes ne sont pas les mêmes :

1. Fabriquer un ordinateur en partant exclusivement des ressources naturelles,
2. Fabriquer un ordinateur en pouvant acheter des composants à des entreprises fiables,
3. Programmer,
4. Être un usager lambda, par exemple utiliser un ordi pour écrire sur jvc.

Pour les maths, pareil : tu peux chercher à fonder les maths (analogue de 1), tu peux prendre les maths là où elles sont rendues et chercher à aller plus loin (analogue de 2 et 3) ou tu peux utiliser les maths (par exemple comme ingénieur). Le quotidien d'un chercheur en maths relève le plus souvent de 2 et 3.

Ok merci c'est très clair

Super

Cherche du côté de la théorie des langages formels / logique. Ça devrait t’éclairer

En tout cas, il faut avoir en tête qu'il y a un consensus mathématique durablement établi sur le fait que la théorie des ensembles est un excellent cadre dans lequel faire des maths.

Est-il ultimement parfait ? Est-il impossible de faire autre chose qui fonctionne aussi de façon excellente ? Est-ce que tous les autres cadres sont forcément inintéressants ? La réponse à toutes ces questions (au moins les deux dernières) est non. Ca n'enlève rien au fait qu'il fait excellemment le taf

Quand je dis qu'il n'est pas forcément parfait, ce n'est pas que ce cadre manquerait de rigueur en interne. C'est juste qu'on peut imaginer des théories où on parviendrait à parler de plus de choses et de façon plus commode. Ce n'est pas sur le curseur de la rigueur qu'on peut se plaindre.

D'autres cadres peuvent être le même présenté d'une façon différente ou bien un cadre plus faible, ou plus fort, ou tout simplement différent. Quand je dis plus faible, c'est "postulant moins d'axiomes" : moins de chances d'avoir tort, mais le prix à payer c'est qu'on parvient à démontrer moins de choses ! Beurre, argent du beurre, tout ça...

Les axiomes de la théorie des ensembles peuvent arriver par deux cheminements, chacun ayant de la valeur. Si ce n'est pas clair, sauter ce paragraphe et aller directement vers la métaphore "peinture" juste après. Une façon d'y arriver est de se dire qu'on a en tête une notion d'ensembles et qu'on cherche à formaliser des propriétés importantes de base sur ces objets. Une autre façon, plus logicienne, consiste à se dire "je veux pouvoir faire tel genre de trucs, je veux éviter tel genre de bugs" : plutôt que de partir des objets, on part des interactions qu'on veut permettre ou empêcher, ça nous donne des lois, et on décrète que ces lois s'appliquent à des choses pour lesquelles il faut bien choisir un nom.

Par exemple, si tu fais une théorie de la peinture, tu peux chercher à comprendre les pigments et leur propriétés physiques. Mais une autre approche consiste à dire "je veux peindre" : je veux pouvoir mélanger des pigments, je veux pouvoir fixer des pigments sur une toile à la position de mon choix, etc.

On m'a expliqué récemment que la théorie des ensembles, indépendamment de toute intuition préalable d'ensemble, peut émerger de façon plutôt naturelle à partir de considérations du genre "je veux étudier des relations de type vrai-faux entre deux objets" (introduit l'appartenance) et "je veux éviter les autoréférences donnant lieu à des arguments circulaires" (ensembles bien fondés).

Observation
Règle + compas
Géométrie euclidienne
.
.
.
Algèbre
.
.
.
et ça continue

Noter également que diverses théories peuvent être pertinentes pour divers usages.

Par exemple, qu'entends-tu par "il existe un objet" ? Veux-tu pouvoir construire cet objet, mettre ta main dessus ? Te satisfais-tu du fait qu'il soit cohérent de postuler qu'un tel objet existe quelque part, quitte à être en un sens "inaccessible" ? Bref, quel sens veut-on donner au mot "il existe" ?

Eh bien selon le sens que tu veux donner à tel ou tel mot, telle ou telle axiomatique ou théorie peut être plus pertinente.

Généralement, chaque théorie étudiée est cohérente, valide en interne. Par contre, quand il s'agit d'''interpréter'' la théorie, là, ça dépend : selon l'interprétation que tu veux voir, telle théorie peut être pertinente et telle autre débile.

Par exemple, voici une théorie très simple.

Objets : le mot "voiture", le mot "rouge", la relation "est de couleur".
Axiome : voiture est de couleur rouge.

On peut parfaitement regarder cette théorie, aucune contradiction en interne !

Maintenant, côté interprétations...

Si tu interprètes cette théorie pour ta voiture, qui se trouve être rouge, la théorie est pertinente.

Si tu l'interprètes pour la mienne, qui se trouve être bleue, la théorie n'est pas pertinente.

Enfin... si tu l'interprètes pour la mienne mais que tu décides d'interpréter le mot théorique "rouge" comme correspondant à la couleur IRL "bleu", la théorie redevient pertinente pour ma voiture !

Si tu interprètes la théorie comme devant être valable pour toutes les voitures, la théorie n'est pas pertinente...

Bref, une théorie est un monde fictif qu'on déploie. Ensuite, la question est de savoir si ce monde fictif reflète bien certains phénomènes réels ou non. Cela dépend à la foi du monde fictif (la théorie), de la réalité et de l'interprétation (qui relie les deux).